Номер 27.63, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.63. a) $\sin 2x \cos 2x < \frac{1}{4}$;

б) $\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$.

а) $ \sin 2x \cos 2x < \frac{1}{4} $

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Применим эту формулу к левой части неравенства, положив $ \alpha = 2x $:

$ \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin 4x $.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2}\sin 4x < \frac{1}{4} $

Умножим обе части неравенства на 2:

$ \sin 4x < \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной: $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t < \frac{1}{2} $.

Решениями уравнения $ \sin t = \frac{1}{2} $ на тригонометрической окружности являются углы $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t < \frac{1}{2} $ выполняется для углов, лежащих на дуге от $ \frac{5\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота. С учетом периодичности синуса, общее решение для $ t $ записывается в виде:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Теперь выполним обратную замену $ t = 4x $:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим все части двойного неравенства на 4:

$ \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} $

$ \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x \in (\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}), n \in Z $.

б) $ \cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} > \frac{1}{2} $

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Применим эту формулу к левой части неравенства, положив $ \alpha = \frac{x}{4} $:

$ \cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} = \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = \cos\frac{x}{2} $.

Подставив это в исходное неравенство, получим:

$ \cos\frac{x}{2} > \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной: $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t > \frac{1}{2} $.

Решениями уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на тригонометрической окружности являются углы $ t = \frac{\pi}{3} $ и $ t = -\frac{\pi}{3} $. Неравенство $ \cos t > \frac{1}{2} $ выполняется для углов, лежащих в интервале между этими значениями. С учетом периодичности косинуса, общее решение для $ t $ записывается в виде:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, умножим все части двойного неравенства на 2:

$ 2(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) < x < 2(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $

$ -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 4\pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k), k \in Z $.