Номер 27.59, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.59. Докажите тождество:

а) $sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

б) $cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

а) Для доказательства тождества $ \sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся определением тангенса $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Правая часть примет вид:

$ \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Упростим полученное выражение. Сначала преобразуем знаменатель, используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $:

$ 1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ для $ \alpha = \frac{x}{2} $, получаем:

$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x $

Мы получили левую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos x = \frac{1 - \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу $ \tg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} $:

$ \frac{1 - \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{x}{2} $:

$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Знаменатель внутренней дроби $ \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 $. Упростим выражение:

$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} $

Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ для $ \alpha = \frac{x}{2} $, получаем:

$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x $

Мы получили левую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.