Номер 27.60, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.60. Используя замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ и тождества из упражнения 27.59, решите уравнение:

a) $\sin x + 7 \cos x = 5;$

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0.$

а) $\sin x + 7 \cos x = 5$

Для решения данного уравнения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x$ и $\cos x$ можно выразить через $u$ с помощью следующих тождеств:

$\sin x = \frac{2u}{1+u^2}$

$\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Эта замена имеет смысл, если $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, то есть $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, что равносильно $x \neq \pi + 2\pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, являются ли числа вида $x = \pi + 2\pi n$ решениями исходного уравнения. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$\sin(\pi) + 7 \cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \neq 5$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются решениями уравнения.

Теперь выполним подстановку в исходное уравнение:

$\frac{2u}{1+u^2} + 7 \frac{1-u^2}{1+u^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$, так как это выражение всегда положительно:

$2u + 7(1-u^2) = 5(1+u^2)$

$2u + 7 - 7u^2 = 5 + 5u^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$12u^2 - 2u - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$6u^2 - u - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения для $u$:

$u_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$u_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1-5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_1 = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_2 = -\frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$

Аналогично пункту а), используем замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ и соответствующие формулы для $\sin x$ и $\cos x$.

Проверим, являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi n$, при которых замена не определена.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$5 \sin(\pi) + 10 \cos(\pi) + 2 = 5(0) + 10(-1) + 2 = -8$.

Поскольку $-8 \neq 0$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются решениями.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $u$ в уравнение:

$5 \left(\frac{2u}{1+u^2}\right) + 10 \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right) + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$:

$5(2u) + 10(1-u^2) + 2(1+u^2) = 0$

$10u + 10 - 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-8u^2 + 10u + 12 = 0$

Разделим уравнение на -2, чтобы упростить:

$4u^2 - 5u - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$.

Корни уравнения для $u$:

$u_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5+11}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$u_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5-11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Выполним обратную замену.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_1 = 2$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_2 = -\frac{3}{4}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}2 + 2\pi n, \quad x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.