Номер 27.62, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

27.62. a) $4 \sin^2 3x < 3$;

б) $4 \cos^2 \frac{x}{4} > 1$.

а)

Разделим обе части неравенства на 4:

$\sin^2 3x < \frac{3}{4}$

Данное неравенство равносильно неравенству для модуля синуса:

$|\sin 3x| < \sqrt{\frac{3}{4}}$

Что можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Введем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это неравенство относительно $t$ с помощью тригонометрической окружности. Нам нужно найти углы, для которых значение синуса лежит в интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Это соответствует дугам, заключенным между углами, синус которых равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

На одном обороте $[0, 2\pi)$ это интервалы $t \in [0, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

В общем виде, учитывая периодичность, эти интервалы можно записать как одно двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < 3x < \frac{\pi}{3} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3})$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Разделим обе части неравенства на 4:

$\cos^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{4}$

Это неравенство равносильно тому, что модуль косинуса больше $\frac{1}{2}$:

$|\cos \frac{x}{4}| > \frac{1}{2}$

Данное неравенство распадается на совокупность двух неравенств:

$\cos \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$ или $\cos \frac{x}{4} < -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{4}$. Неравенства примут вид:

$\cos t > \frac{1}{2}$ или $\cos t < -\frac{1}{2}$

Решим эти неравенства с помощью тригонометрической окружности.

1. Неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$ выполняется, когда $t$ принадлежит интервалам:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$ выполняется, когда $t$ принадлежит интервалам:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, можно заметить, что они повторяются с периодом $\pi$. Общее решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{3} + \pi k$

Умножим все части неравенства на 4, чтобы найти $x$:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; \frac{4\pi}{3} + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.