Номер 27.56, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.56. a) $\sin^2 2x = 1;$

б) $\cos^2 \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4};$

в) $\sin^2 \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4};$

г) $\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1.$

а)

Дано уравнение $\sin^2 2x = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sin 2x = \pm 1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
$\frac{1 + \cos(2(3x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{3}{4}$.
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}$.
Выразим косинус:
$\cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Применим формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$:
$\sin(6x) = \frac{1}{2}$.
Это стандартное тригонометрическое уравнение, которое имеет две серии решений:
1) $6x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$.
2) $6x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2\pi k}{6} = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\sin^2(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2(2x - \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{3}{4}$.
$1 - \cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$.
$-\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение для $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$4x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разобьем на два случая:
1) $4x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
$4x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
2) $4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
$4x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\cos^2(x + \frac{\pi}{3}) = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \pm 1$.
Это частный случай, который означает, что аргумент косинуса должен быть кратен $\pi$.
$x + \frac{\pi}{3} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.