Номер 27.49, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.49. Решите уравнение:

a) $2 - \cos 2x + 3 \sin x = 0;$

б) $\cos 6x - \cos 3x - 2 = 0;$

в) $26 \sin x \cos x - \cos 4x + 7 = 0;$

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x.$

а) $2 - \cos 2x + 3 \sin x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:

$2 - (1 - 2 \sin^2 x) + 3 \sin x = 0$

$2 - 1 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к исходной переменной.

1) $\sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

б) $\cos 6x - \cos 3x - 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = 3x$, тогда $\cos 6x = 2 \cos^2 3x - 1$.

$(2 \cos^2 3x - 1) - \cos 3x - 2 = 0$

$2 \cos^2 3x - \cos 3x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 3x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $\frac{3}{2} > 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_1 = -1$. Вернемся к исходной переменной.

$\cos 3x = -1$

$3x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

в) $26 \sin x \cos x - \cos 4x + 7 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$.

$13 \cdot (2 \sin x \cos x) - \cos 4x + 7 = 0$

$13 \sin 2x - \cos(2 \cdot 2x) + 7 = 0$

$13 \sin 2x - (1 - 2 \sin^2 2x) + 7 = 0$

$13 \sin 2x - 1 + 2 \sin^2 2x + 7 = 0$

$2 \sin^2 2x + 13 \sin 2x + 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 13t + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 11}{4} = \frac{-24}{4} = -6$

$t_2 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_2 = -\frac{1}{2}$. Вернемся к исходной переменной.

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2 (\sin x \cos x)^2 = 1 - 2 (\sin x \cos x)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$1 - 2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{2} \sin 2x$

$1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2 - \sin^2 2x = \sin 2x$

$\sin^2 2x + \sin 2x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_1 = 1$. Вернемся к исходной переменной.

$\sin 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.