Номер 27.42, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.42. а) Докажите, что если $sin^2 x = sin y cos y$, то $cos 2x = 2 cos^2 \left(\frac{\pi}{4} + y\right);$

б) докажите, что если $cos^2 x = sin y cos y$, то $cos(\pi + 2x) = 2 sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - y\right).$

а)

Требуется доказать, что если $\sin^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos 2x = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + y)$.

Начнем с преобразования левой части равенства, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ и данное условие $\sin^2 x = \sin y \cos y$.

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\sin y \cos y$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, получаем:

$\cos 2x = 1 - \sin 2y$

Теперь преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$.

$2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + y) = 1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} + y)) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} + 2y)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$:

$1 + \cos(\frac{\pi}{2} + 2y) = 1 - \sin 2y$

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $1 - \sin 2y$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Требуется доказать, что если $\cos^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos(\pi + 2x) = 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - y)$.

Начнем с преобразования левой части. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

$\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ и подставим данное условие $\cos^2 x = \sin y \cos y$.

$-\cos 2x = -(2\cos^2 x - 1) = 1 - 2\cos^2 x = 1 - 2\sin y \cos y$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\cos(\pi + 2x) = 1 - \sin 2y$

Теперь преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha$.

$2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - y) = 1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - y)) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2y)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$:

$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2y) = 1 - \sin 2y$

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $1 - \sin 2y$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.