Номер 27.36, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.36. Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Вычислите:

а) $\sin^4 x + \cos^4 x$;

б) $\sin^8 x - \cos^8 x$.

а) $\sin^4 x + \cos^4 x$

Для вычисления значения данного выражения мы можем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Возведем его в квадрат:

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$

$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$

Отсюда можно выразить искомую сумму:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь преобразуем выражение $2\sin^2 x \cos^2 x$, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x$

Подставив это обратно, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$

По условию задачи $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Найдем $\sin^2 2x$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = 2x$:

$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$

Теперь мы можем вычислить итоговое значение:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{72}{169} = \frac{169 - 72}{169} = \frac{97}{169}$

Ответ: $\frac{97}{169}$

б) $\sin^8 x - \cos^8 x$

Разложим данное выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x)^2 - (\cos^4 x)^2 = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Значение второго множителя $(\sin^4 x + \cos^4 x)$ было найдено в пункте а) и равно $\frac{97}{169}$.

Теперь преобразуем первый множитель $(\sin^4 x - \cos^4 x)$, снова применив формулу разности квадратов:

$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Мы знаем, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Также мы знаем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Следовательно, $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$.

Тогда первый множитель равен:

$\sin^4 x - \cos^4 x = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x$

Теперь объединим все части:

$\sin^8 x - \cos^8 x = (-\cos 2x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Подставим известные значения: $\cos 2x = \frac{5}{13}$ и $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{97}{169}$:

$\sin^8 x - \cos^8 x = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{97}{169}\right) = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$