Номер 27.29, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.29. Известно, что $ \text{tg } x = \frac{3}{4} $, $ 180^{\circ} < x < 270^{\circ} $. Вычислите:

а) $ \sin 2x $;

б) $ \cos 2x $;

в) $ \text{tg } 2x $;

г) $ \text{ctg } 2x $.

По условию дано, что $\text{tg} \, x = \frac{3}{4}$ и угол $x$ находится в третьей четверти ($180^\circ < x < 270^\circ$). В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

Для вычисления тригонометрических функций двойного угла нам понадобятся значения $\sin x$ и $\cos x$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$

Отсюда следует, что $\cos^2 x = \frac{16}{25}$, а $\cos x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$. Поскольку угол $x$ принадлежит третьей четверти, $\cos x$ должен быть отрицательным, поэтому $\cos x = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin x$, используя определение тангенса $\text{tg} \, x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sin x = \text{tg} \, x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$. Это значение также отрицательно, что соответствует третьей четверти.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) sin 2x

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$\sin 2x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$

б) cos 2x

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\cos 2x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Другой способ — использовать формулу, выражающую косинус двойного угла через тангенс: $\cos 2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$

в) tg 2x

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg} \, 2x = \frac{2 \text{tg} \, x}{1 - \text{tg}^2 x}$.

$\text{tg} \, 2x = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7}$.

Также можно найти тангенс как отношение синуса к косинусу: $\text{tg} \, 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$

г) ctg 2x

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg} \, 2x = \frac{1}{\text{tg} \, 2x}$.

$\text{ctg} \, 2x = \frac{1}{24/7} = \frac{7}{24}$.

Также можно найти котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} \, 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$