Номер 27.28, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.28. Известно, что $ \cos x = 0.8, 0 < x < \frac{\pi}{2} $. Вычислите:

а) $ \sin 2x; $

б) $ \cos 2x; $

в) $ \text{tg } 2x; $

г) $ \text{ctg } 2x. $

Поскольку по условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, угол $x$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Сначала найдем $sin x$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Нам дано, что $cos x = 0,8$.

$sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Так как $x$ находится в первой четверти, $sin x > 0$, поэтому $sin x = \sqrt{0,36} = 0,6$.

а) sin 2x;

Для вычисления $sin 2x$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2x = 2 \cdot sin x \cdot cos x$.

Подставим известные значения $sin x = 0,6$ и $cos x = 0,8$:

$sin 2x = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 1,2 \cdot 0,8 = 0,96$.

Ответ: $0,96$.

б) cos 2x;

Для вычисления $cos 2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Удобно использовать формулу, содержащую только косинус: $cos 2x = 2cos^2 x - 1$.

Подставим известное значение $cos x = 0,8$:

$cos 2x = 2 \cdot (0,8)^2 - 1 = 2 \cdot 0,64 - 1 = 1,28 - 1 = 0,28$.

Ответ: $0,28$.

в) tg 2x;

Тангенс двойного угла определяется как отношение синуса двойного угла к косинусу двойного угла: $tg 2x = \frac{sin 2x}{cos 2x}$.

Используем ранее вычисленные значения $sin 2x = 0,96$ и $cos 2x = 0,28$:

$tg 2x = \frac{0,96}{0,28} = \frac{96}{28}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$tg 2x = \frac{96 \div 4}{28 \div 4} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г) ctg 2x;

Котангенс двойного угла является обратной величиной к тангенсу двойного угла: $ctg 2x = \frac{1}{tg 2x}$.

Используем результат из предыдущего пункта $tg 2x = \frac{24}{7}$:

$ctg 2x = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24}$.

Также можно было вычислить по формуле $ctg 2x = \frac{cos 2x}{sin 2x} = \frac{0,28}{0,96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.