Номер 27.21, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.21. a) $ \frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ; $

б) $ \frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \operatorname{tg} 65^\circ. $

Вычислим значение выражения $ \frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ $.
Заметим, что $ 80^\circ = 2 \cdot 40^\circ $. Обозначим $ \alpha = 40^\circ $, тогда выражение примет вид: $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha + \sin \alpha} \cdot \operatorname{tg} \alpha $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $: $ 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \cos \alpha = (1 + 2\cos^2 \alpha - 1) + \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (2\cos \alpha + 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin 2\alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha + 1) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь: $ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} $

Поскольку $ \alpha = 40^\circ $, то $ \cos 40^\circ \neq -1/2 $, а значит $ 2\cos \alpha + 1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (2\cos \alpha + 1) $: $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha $.

Исходное выражение сводится к: $ \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} 40^\circ \cdot \operatorname{tg} 40^\circ = 1 $.

Ответ: 1

Вычислим значение выражения $ \frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \operatorname{tg} 65^\circ $.
Заметим, что $ 50^\circ = 2 \cdot 25^\circ $. Обозначим $ \alpha = 25^\circ $, тогда выражение примет вид: $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} 65^\circ $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $: $ 1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - \cos \alpha = (1 + 2\cos^2 \alpha - 1) - \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha (2\cos \alpha - 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin 2\alpha - \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha - 1) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)} $

Поскольку $ \alpha = 25^\circ $, то $ \cos 25^\circ \neq 1/2 $, а значит $ 2\cos \alpha - 1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (2\cos \alpha - 1) $: $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} 25^\circ $.

Исходное выражение сводится к: $ \operatorname{ctg} 25^\circ - \operatorname{tg} 65^\circ $.

Используем формулу приведения $ \operatorname{tg}(90^\circ - x) = \operatorname{ctg} x $. Для $ x = 25^\circ $ получаем: $ \operatorname{tg}(90^\circ - 25^\circ) = \operatorname{tg} 65^\circ = \operatorname{ctg} 25^\circ $.

Тогда выражение принимает вид: $ \operatorname{ctg} 25^\circ - \operatorname{ctg} 25^\circ = 0 $.

Ответ: 0