Номер 27.22, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.22. a) $\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} - \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}$

б) $\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} - \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ}$

а)

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $\sin 55^\circ \cos 55^\circ$:

$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} - \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ} = \frac{\sin 125^\circ \cos 55^\circ - \cos 125^\circ \sin 55^\circ}{\sin 55^\circ \cos 55^\circ}$

В числителе мы видим формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 125^\circ$ и $\beta = 55^\circ$:

$\sin 125^\circ \cos 55^\circ - \cos 125^\circ \sin 55^\circ = \sin(125^\circ - 55^\circ) = \sin 70^\circ$

Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

$\sin 55^\circ \cos 55^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 55^\circ) = \frac{1}{2} \sin 110^\circ$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\sin 70^\circ}{\frac{1}{2} \sin 110^\circ} = \frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 110^\circ}$

Воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, чтобы упростить знаменатель:

$\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$

Подставляем это значение и получаем конечный результат:

$\frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ} = 2$

Ответ: $2$

б)

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 40^\circ \cos 40^\circ$:

$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} - \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\cos 150^\circ \cos 40^\circ - \sin 150^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}$

Числитель соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 150^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$\cos 150^\circ \cos 40^\circ - \sin 150^\circ \sin 40^\circ = \cos(150^\circ + 40^\circ) = \cos 190^\circ$

Знаменатель преобразуем, используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$:

$\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$

Подставим упрощенные выражения в нашу дробь:

$\frac{\cos 190^\circ}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{2 \cos 190^\circ}{\sin 80^\circ}$

Теперь применим формулы приведения. Для числителя используем $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos 190^\circ = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos 10^\circ$

Для знаменателя используем $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\sin 80^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \cos 10^\circ$

Подставляем полученные значения и вычисляем:

$\frac{2 (-\cos 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = -2$

Ответ: $-2$