Номер 27.24, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.24. a) $\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8}$;

б) $\cos^2 \frac{5\pi}{8} - \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} - \sin^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^6 \frac{5\pi}{8} - \sin^6 \frac{5\pi}{8}$.

а)

Разобьем исходное выражение на три группы и упростим каждую из них по отдельности. Обозначим $x = \frac{3\pi}{8}$.

Выражение имеет вид: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^4 x + \cos^4 x) + (\sin^6 x + \cos^6 x)$.

1. Первая группа является основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

2. Для второй группы воспользуемся формулой квадрата суммы:
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, то $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
Следовательно: $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

3. Для третьей группы воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.
Подставляя известные значения, получаем:
$1 \cdot ((\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.
Аналогично предыдущему пункту: $1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.

Теперь сложим все три упрощенных выражения:
$1 + (1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) + (1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)) = 3 - (\frac{1}{2} + \frac{3}{4})\sin^2(2x) = 3 - \frac{5}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим значение $x = \frac{3\pi}{8}$. Нам нужно найти $\sin^2(2x) = \sin^2(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4})$.
$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение в итоговую формулу:
$3 - \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 - \frac{5}{8} = \frac{24 - 5}{8} = \frac{19}{8}$.

Ответ: $\frac{19}{8}$.

б)

Разобьем исходное выражение на три группы. Обозначим $y = \frac{5\pi}{8}$.

Выражение имеет вид: $(\cos^2 y - \sin^2 y) + (\cos^4 y - \sin^4 y) + (\cos^6 y - \sin^6 y)$.

1. Первая группа является формулой косинуса двойного угла:
$\cos^2 y - \sin^2 y = \cos(2y)$.

2. Вторая группа раскладывается по формуле разности квадратов:
$\cos^4 y - \sin^4 y = (\cos^2 y - \sin^2 y)(\cos^2 y + \sin^2 y) = \cos(2y) \cdot 1 = \cos(2y)$.

3. Третья группа раскладывается по формуле разности кубов:
$\cos^6 y - \sin^6 y = (\cos^2 y)^3 - (\sin^2 y)^3 = (\cos^2 y - \sin^2 y)(\cos^4 y + \cos^2 y \sin^2 y + \sin^4 y)$.
Первый множитель равен $\cos(2y)$. Выражение во второй скобке можно преобразовать, используя результат из пункта а):
$\cos^4 y + \sin^4 y + \cos^2 y \sin^2 y = (1 - 2\cos^2 y \sin^2 y) + \cos^2 y \sin^2 y = 1 - \cos^2 y \sin^2 y$.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $1 - \frac{1}{4}(4\sin^2 y \cos^2 y) = 1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y)$.
Таким образом, третий член равен $\cos(2y)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y))$.

Теперь сложим все три упрощенных выражения:
$\cos(2y) + \cos(2y) + \cos(2y)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y)) = 2\cos(2y) + \cos(2y) - \frac{1}{4}\cos(2y)\sin^2(2y) = 3\cos(2y) - \frac{1}{4}\cos(2y)\sin^2(2y)$.
Можно вынести $\cos(2y)$ за скобки: $\cos(2y)(3 - \frac{1}{4}\sin^2(2y))$.

Подставим значение $y = \frac{5\pi}{8}$. Нам нужно найти значения $\cos(2y)$ и $\sin^2(2y)$, где $2y = 2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi}{4}$.
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin^2(\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем эти значения в итоговую формулу:
$(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (3 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (3 - \frac{1}{8}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{24-1}{8}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{23}{8} = -\frac{23\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: $-\frac{23\sqrt{2}}{16}$.