Номер 27.23, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.23. a) $(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})(\cos^3 \frac{\pi}{8} - \sin^3 \frac{\pi}{8})$;

б) $\sin \frac{7\pi}{8} (\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16})$;

в) $(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12})(\cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12})$;

г) $\sin \frac{\pi}{12} (\cos^6 \frac{\pi}{24} - \sin^6 \frac{\pi}{24})$.

а) $(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})(\cos^3 \frac{\pi}{8} - \sin^3 \frac{\pi}{8})$

Для решения воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пусть $a = \cos\frac{\pi}{8}$ и $b = \sin\frac{\pi}{8}$.

Выражение принимает вид:

$(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2+ab)$

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1. $a^2-b^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$. Это формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. $a^2+b^2+ab = \cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$1 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

б) $\sin \frac{7\pi}{8} (\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16})$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16} = (\cos^2 \frac{7\pi}{16} - \sin^2 \frac{7\pi}{16})(\cos^2 \frac{7\pi}{16} + \sin^2 \frac{7\pi}{16})$

Применяя формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$(\cos(2 \cdot \frac{7\pi}{16})) \cdot 1 = \cos(\frac{7\pi}{8})$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin \frac{7\pi}{8} \cdot \cos(\frac{7\pi}{8})$

Это похоже на формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{7\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{7\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Окончательный результат:

$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) $(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12})(\cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12})$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $a = \cos\frac{\pi}{12}$ и $b = \sin\frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид:

$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2-ab)$

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1. $a^2-b^2 = \cos^2\frac{\pi}{12} - \sin^2\frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $a^2+b^2-ab = \cos^2\frac{\pi}{12} + \sin^2\frac{\pi}{12} - \cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{\pi}{12} = 1 - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 1 - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

г) $\sin \frac{\pi}{12} (\cos^6 \frac{\pi}{24} - \sin^6 \frac{\pi}{24})$

Упростим выражение в скобках, рассматривая его как разность кубов $(\cos^2 \frac{\pi}{24})^3 - (\sin^2 \frac{\pi}{24})^3$.

Пусть $x = \frac{\pi}{24}$. Выражение $\cos^6 x - \sin^6 x$ можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \cos^2 x$ и $b = \sin^2 x$.

$\cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)$

Первая скобка: $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.

Вторая скобка: $\cos^4 x + \sin^4 x + \cos^2 x \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\cos^2 x \sin^2 x + \cos^2 x \sin^2 x = 1^2 - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - (\sin x \cos x)^2$.

Используя формулу синуса двойного угла, $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем: $1 - (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = 1 - \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Таким образом, $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos(2x)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2x))$.

Подставим $x = \frac{\pi}{24}$, тогда $2x = \frac{\pi}{12}$. Исходное выражение становится:

$\sin\frac{\pi}{12} \left[ \cos\frac{\pi}{12} (1 - \frac{1}{4}\sin^2\frac{\pi}{12}) \right] = \sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} (1 - \frac{1}{4}\sin^2\frac{\pi}{12})$

Вычислим множители:

$\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

$\sin^2\frac{\pi}{12}$ найдем по формуле понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\sin^2\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{6})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

Подставим все в выражение:

$\frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{2-\sqrt{3}}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16 - (2-\sqrt{3})}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{14+\sqrt{3}}{16} \right) = \frac{14+\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{14+\sqrt{3}}{64}$.