Номер 27.19, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.19. Вычислите (с помощью формул понижения степени):

а) $ \sin 22,5^\circ $;

б) $ \cos 22,5^\circ $;

в) $ \sin \frac{3\pi}{8} $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{8} $.

а) sin 22,5°

Для вычисления $\sin{22,5^\circ}$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $$ Из этой формулы следует формула половинного угла для синуса: $\sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}}$.

В данном случае $\alpha = 22,5^\circ$. Этот угол находится в первой координатной четверти (от 0° до 90°), поэтому его синус является положительным числом. Знак перед корнем будет «+».

Применим формулу, подставив $\alpha = 22,5^\circ$: $$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \cos(2 \cdot 22,5^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{45^\circ}}{2}} $$

Мы знаем, что значение $\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше выражение: $$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

б) cos 22,5°

Для вычисления $\cos{22,5^\circ}$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $$ Отсюда формула половинного угла для косинуса: $\cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}}$.

Угол $\alpha = 22,5^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен, поэтому выбираем знак «+».

Подставляем $\alpha = 22,5^\circ$ в формулу: $$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \cos(2 \cdot 22,5^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{45^\circ}}{2}} $$

Используя значение $\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

в) sin(3?/8)

Для вычисления $\sin{\frac{3\pi}{8}}$ используем ту же формулу понижения степени для синуса: $$ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}} $$

В данном случае $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ (что равно $67,5^\circ$) находится в первой четверти, поэтому его синус положителен.

Найдем удвоенный угол: $2\alpha = 2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$. Подставим в формулу: $$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $$

Значение косинуса для $\frac{3\pi}{4}$ равно $\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение: $$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

г) cos(3?/8)

Для вычисления $\cos{\frac{3\pi}{8}}$ используем формулу понижения степени для косинуса: $$ \cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}} $$

Угол $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен.

Удвоенный угол $2\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Подставим в формулу: $$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $$

Используя значение $\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$