Номер 27.13, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.13. a) $\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

б) $\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4}$.

а) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим первую дробь, используя формулы двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и $1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$.
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} = \frac{2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} \, t$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \text{tg} \, t \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$.
Далее используем формулы половинного угла: $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ и $1 + \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$.
$\frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \text{tg} \frac{t}{2}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Воспользуемся результатом, полученным в пункте а). Мы уже доказали, что:
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \text{tg} \frac{t}{2}$.
Подставим это в левую часть тождества из пункта б):
$\left( \frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \right) \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \text{tg} \frac{t}{2} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$.
Заменим $\text{tg} \frac{t}{2}$ на $\frac{\sin (t/2)}{\cos (t/2)}$ и сократим $\cos \frac{t}{2}$:
$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$.
Это выражение имеет тот же вид, что и $\frac{\sin t}{1 + \cos t}$, но с аргументом, уменьшенным в два раза. Применим к нему те же формулы половинного угла (для аргумента $\frac{t}{2}$):
$\sin \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4}$ и $1 + \cos \frac{t}{2} = 2 \cos^2 \frac{t}{4}$.
$\frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \frac{2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4}}{2 \cos^2 \frac{t}{4}} = \frac{\sin \frac{t}{4}}{\cos \frac{t}{4}} = \text{tg} \frac{t}{4}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.