Номер 27.6, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.6. a) $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$;

б) $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$;

В) $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$;

Г) $2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}$.

а) Упростим выражение $ \frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1} $.
Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $. Подставим это выражение в числитель дроби:
$ \frac{2 \sin t \cos t - 2 \sin t}{\cos t - 1} $
Теперь вынесем общий множитель $ 2 \sin t $ за скобки в числителе:
$ \frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\cos t - 1) $, при условии, что $ \cos t - 1 \neq 0 $, то есть $ \cos t \neq 1 $.
В результате получаем:
$ 2 \sin t $
Ответ: $ 2 \sin t $

б) Упростим выражение $ \frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t} $.
Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $ \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 $. Подставим ее в числитель. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $.
Выражение примет вид:
$ \frac{(2\cos^2 t - 1) - \cos^2 t}{\sin^2 t} $
Упростим числитель:
$ \frac{\cos^2 t - 1}{\sin^2 t} $
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $. Подставим это в числитель:
$ \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1 $
Сокращение возможно при условии, что $ \sin^2 t \neq 0 $, то есть $ \sin t \neq 0 $.
Ответ: $ -1 $

в) Упростим выражение $ \sin 2t \operatorname{ctg} t - 1 $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $ и определение котангенса $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $:
$ (2 \sin t \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $
Сократим на $ \sin t $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $, что необходимо для существования $ \operatorname{ctg} t $):
$ 2 \cos t \cdot \cos t - 1 = 2\cos^2 t - 1 $
Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:
$ 2\cos^2 t - 1 = \cos 2t $
Ответ: $ \cos 2t $

г) Упростим выражение $ 2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4} $.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ 2 \left( \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - \sin^2 \frac{\pi + t}{4} \right) $
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где в нашем случае $ \alpha = \frac{\pi + t}{4} $.
Применим эту формулу:
$ 2 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi + t}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi + t}{2} \right) $
Представим аргумент косинуса в виде суммы:
$ 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) $
Теперь используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x $:
$ 2 \left( -\sin \frac{t}{2} \right) = -2 \sin \frac{t}{2} $
Ответ: $ -2 \sin \frac{t}{2} $