Номер 27.5, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.5. a) $\frac{\operatorname{tg} 75^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 75^{\circ}}$;

б) $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5 \pi}{12}-1}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} $.

Заметим, что исходное выражение $ \frac{\text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $ очень похоже на правую часть этой формулы. Чтобы привести его к нужному виду, умножим и разделим выражение на 2, или, что то же самое, вынесем множитель $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{\text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $

Теперь выражение $ \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $ в точности соответствует правой части формулы тангенса двойного угла при $ \alpha = 75^\circ $. Применим формулу:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \text{tg}(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \text{tg}(150^\circ) $

Далее, вычислим значение $ \text{tg}(150^\circ) $, используя формулу приведения $ \text{tg}(180^\circ - \beta) = -\text{tg}(\beta) $:

$ \text{tg}(150^\circ) = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим полученное значение обратно в наше выражение:

$ \frac{1}{2} \text{tg}(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{6} $

б)

Как и в предыдущем пункте, используем формулу тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} $.

Рассмотрим выражение $ \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{\text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1} $. Сравним его с формулой. Мы видим, что знаменатель $ \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1 $ является противоположным по знаку знаменателю в формуле $ 1 - \text{tg}^2 \alpha $. Вынесем знак минус из знаменателя дроби:

$ \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{\text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1} = \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{-(1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12})} = - \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12}} $

Теперь дробь полностью соответствует формуле тангенса двойного угла при $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $. Применим формулу:

$ - \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12}} = - \text{tg}\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = - \text{tg}\left(\frac{10\pi}{12}\right) = - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) $

Вычислим значение $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) $, используя формулу приведения $ \text{tg}(\pi - \beta) = -\text{tg}(\beta) $:

$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим это значение в наше выражение:

$ - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $