Номер 27.10, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.10. a) $\cos^2 3t = \frac{1 + \sin \left(\frac{\pi}{2} - 6t\right)}{2}$ ;

Б) $\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \text{tg}^2 \frac{t}{2}$ ;

В) $\sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 - \sin 4t}{2}$ ;

Г) $\frac{1 - \cos t}{\sin t} = \text{tg} \frac{t}{2}$ .

а) Требуется доказать тождество: $ \cos^2 3t = \frac{1 + \sin(\frac{\pi}{2} - 6t)}{2} $.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства.

1. Применим формулу приведения для синуса: $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $. В нашем случае $ \alpha = 6t $, поэтому $ \sin(\frac{\pi}{2} - 6t) = \cos(6t) $. Правая часть принимает вид: $ \frac{1 + \cos(6t)}{2} $.

2. Теперь рассмотрим левую часть равенства. Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла): $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $. В нашем случае $ x = 3t $, тогда $ 2x = 6t $. Следовательно, $ \cos^2 3t = \frac{1 + \cos(6t)}{2} $.

3. Сравнивая результаты, видим, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $ \frac{1 + \cos(6t)}{2} = \frac{1 + \cos(6t)}{2} $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество: $ \frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Используем формулы половинного угла, которые следуют из формул понижения степени: $ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2} $ $ 1 + \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2} $

2. Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби в левой части: $ \frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} $.

3. Сократим двойки в числителе и знаменателе: $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} $.

4. По определению тангенса, $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно $ \operatorname{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $. Применяя это к нашему выражению, получаем: $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2} $.

5. Левая часть преобразована к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) Требуется доказать тождество: $ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{1 - \sin 4t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Применим формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. В нашем случае $ x = \frac{3\pi}{4} + 2t $. Тогда $ 2x = 2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{3\pi}{2} + 4t $.

2. Подставим это в формулу понижения степени: $ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{1 - \cos(\frac{3\pi}{2} + 4t)}{2} $.

3. Теперь воспользуемся формулой приведения для косинуса: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $. При $ \alpha = 4t $ получаем $ \cos(\frac{3\pi}{2} + 4t) = \sin 4t $.

4. Подставим полученное выражение обратно в наше равенство: $ \frac{1 - \sin 4t}{2} $.

5. Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности правую часть. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) Требуется доказать тождество: $ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Используем формулу для числителя, следующую из формулы косинуса двойного угла: $ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2} $.

2. Используем формулу синуса двойного угла для знаменателя: $ \sin t = \sin(2 \cdot \frac{t}{2}) = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} $.

3. Подставим эти выражения в левую часть тождества: $ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} $.

4. Сократим общий множитель $ 2 \sin \frac{t}{2} $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin \frac{t}{2} \neq 0 $): $ \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} $.

5. По определению тангенса, полученное выражение равно $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.