Номер 27.4, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.4. a) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8};$

б) $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4};$

В) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8};$

Г) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2.$

а) Для вычисления значения выражения $2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применяя формулу, получаем:
$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{2\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Значение синуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
Для преобразования произведения $\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$, тогда:
$\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

в) Выражение $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:
$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
Получаем: $1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.
Ответ: $-1$.