Номер 27.9, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.9. a) $sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$;

б) $2 sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

В) $2 sin^2 2t = 1 + sin \left(\frac{3\pi}{2} - 4t\right)$;

Г) $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$.

а) Требуется доказать тождество $ \sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2} $.

Для доказательства воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Из этой формулы выразим $ \sin^2 x $:

$ 2\sin^2 x = 1 - \cos 2x $

$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $

Применим эту формулу для нашего случая, подставив $ x = 2t $. Тогда $ 2x = 2 \cdot 2t = 4t $.

Получаем:

$ \sin^2 2t = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 - \cos 4t}{2} $

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это означает, что равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

б) Требуется решить уравнение $ 2\sin^2\frac{t}{2} + \cos t = 1 $.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой синуса половинного угла):

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 2\sin^2 \frac{t}{2} = 1 - \cos t $

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 - \cos t) + \cos t = 1 $

Упрощая левую часть, получаем:

$ 1 = 1 $

Это верное равенство, не зависящее от переменной $ t $. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для любого действительного значения $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

в) Требуется решить уравнение $ 2\sin^2 2t = 1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) $.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, используя формулу приведения для синуса:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $

В нашем случае $ \alpha = 4t $, поэтому:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) = -\cos 4t $

Подставим это в исходное уравнение:

$ 2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t $

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Применим ее для аргумента $ 2t $, то есть $ x = 2t $:

$ \cos(2 \cdot 2t) = \cos 4t = 1 - 2\sin^2 2t $

Из этой формулы выразим $ 2\sin^2 2t $:

$ 2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t $

Мы видим, что полученное уравнение является тождеством. Следовательно, и исходное уравнение является тождеством, верным для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

г) Требуется решить уравнение $ 2\cos^2 t - \cos 2t = 1 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$ \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ 2\cos^2 t - (2\cos^2 t - 1) = 1 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2\cos^2 t - 2\cos^2 t + 1 = 1 $

Упрощая, получаем:

$ 1 = 1 $

Полученное равенство истинно и не зависит от переменной $ t $. Это означает, что исходное уравнение является тождеством и выполняется для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.