Номер 27.2, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.2. a) $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$;

б) $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$;

в) $\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}$;

г) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

а)Чтобы упростить выражение $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В числителе у нас $\sin 40^\circ$. Представим $40^\circ$ как $2 \cdot 20^\circ$.
Тогда $\sin 40^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:$$ \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} $$Сократим дробь на $\sin 20^\circ$ (поскольку $\sin 20^\circ \ne 0$):$$ 2\cos 20^\circ $$
Ответ: $2\cos 20^\circ$

б)Чтобы упростить выражение $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$, применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В числителе у нас $\cos 80^\circ$. Представим $80^\circ$ как $2 \cdot 40^\circ$.
Тогда $\cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:$$ \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ) $$Подставим полученное выражение в исходную дробь:$$ \frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} $$Сократим дробь на общий множитель $(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$:$$ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ $$
Ответ: $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$

в)Чтобы упростить выражение $\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}$, воспользуемся формулами приведения и формулой двойного угла.
Сначала применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
Теперь применим формулу приведения для косинуса: $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$.
$\cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ$.
Подставим эти значения в исходное выражение:$$ \frac{\sin 80^\circ}{2 \sin 40^\circ} $$Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для числителя:$$ \sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ $$Подставим это в нашу дробь:$$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 40^\circ} $$Сократим дробь на $2\sin 40^\circ$:$$ \cos 40^\circ $$
Ответ: $\cos 40^\circ$

г)Чтобы упростить выражение $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
В числителе у нас есть $\cos 36^\circ$. Представим $36^\circ$ как $2 \cdot 18^\circ$.
Тогда $\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$.
Подставим это выражение в числитель исходной дроби:$$ \frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Упростим числитель:$$ \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.Применим это к нашему числителю: $1 - \sin^2 18^\circ = \cos^2 18^\circ$.
Получаем дробь:$$ \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Сократим дробь на $\cos 18^\circ$:$$ \cos 18^\circ $$
Ответ: $\cos 18^\circ$