Номер 26.33, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.33. Докажите равенство:

а) $\frac{\sin 50^{\circ} + \cos 50^{\circ}}{\sqrt{2} \sin 85^{\circ}} = 1;$

б) $\frac{\cos 40^{\circ} - \sqrt{3} \sin 40^{\circ}}{\sin 190^{\circ}} = 2.$

а)

Докажем равенство $ \frac{\sin 50^\circ + \cos 50^\circ}{\sqrt{2} \sin 85^\circ} = 1 $.
Преобразуем левую часть равенства. Для начала рассмотрим числитель: $ \sin 50^\circ + \cos 50^\circ $.
Используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $, заменим $ \cos 50^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ $.
Тогда числитель примет вид: $ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ $.
Применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{50^\circ + 40^\circ}{2} \cos \frac{50^\circ - 40^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ $.
Зная, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ = \sqrt{2} \cos 5^\circ $.
Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:
$ \frac{\sqrt{2} \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \sin 85^\circ} $.
Сократим $ \sqrt{2} $: $ \frac{\cos 5^\circ}{\sin 85^\circ} $.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:
$ \sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ $.
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\cos 5^\circ}{\cos 5^\circ} = 1 $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем равенство $ \frac{\cos 40^\circ - \sqrt{3} \sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = 2 $.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала рассмотрим числитель, используя метод вспомогательного угла. Вынесем множитель $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $ за скобки:
$ \cos 40^\circ - \sqrt{3} \sin 40^\circ = 2 \left( \frac{1}{2} \cos 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^\circ \right) $.
Мы знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим эти значения в выражение:
$ 2 (\sin 30^\circ \cos 40^\circ - \cos 30^\circ \sin 40^\circ) $.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
$ 2 \sin(30^\circ - 40^\circ) = 2 \sin(-10^\circ) $.
Так как синус является нечетной функцией, $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $, то:
$ 2 \sin(-10^\circ) = -2 \sin 10^\circ $.
Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin 190^\circ $.
Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $:
$ \sin 190^\circ = \sin(180^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{-2 \sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 2 $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.