Номер 26.30, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.30. a) $3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 2 \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) - 1 = 0;$

б) $\operatorname{tg}(\pi + x) + 2 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0;$

в) $3 \operatorname{tg}^2 4x - 2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = 1;$

г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 5 = 0.$

а) $3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2 \ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) - 1 = 0$

Сначала упростим уравнение, используя формулы приведения. Для котангенса имеем формулу $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tg \alpha$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) = -\tg \frac{x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2(-\tg \frac{x}{2}) - 1 = 0$

$3 \tg^2 \frac{x}{2} + 2\tg \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного:

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tg \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg \frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения: $\cos \frac{x}{2} \neq 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) \neq 0$. Второе условие эквивалентно $-\cos \frac{x}{2} \neq 0$, так что оба условия сводятся к одному: $x \neq \pi + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$. Найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg(\pi + x) + 2 \tg(\frac{\pi}{2} + x) + 1 = 0$

Используем формулы приведения:

$\tg(\pi + x) = \tg x$ (так как период тангенса равен $\pi$)

$\tg(\frac{\pi}{2} + x) = -\ctg x$

Подставляем упрощенные выражения в уравнение:

$\tg x + 2(-\ctg x) + 1 = 0$

$\tg x - 2\ctg x + 1 = 0$

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при условии, что $\tg x \neq 0$), получаем:

$\tg x - \frac{2}{\tg x} + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tg x$. Условие: $y \neq 0$.

$y - \frac{2}{y} + 1 = 0$

Домножим обе части на $y$:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -2$

$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\cos(\pi+x) \neq 0 \implies \cos x \neq 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}+x) \neq 0 \implies \sin x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $3 \tg^2 4x - 2 \ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = 1$

Применим формулу приведения $\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg \alpha$:

$\ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = \tg 4x$

Подставим в уравнение:

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x = 1$

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tg 4x$:

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1$

$y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к переменной $x$:

1) $\tg 4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 4x = -\frac{1}{3}$

$4x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{4}\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\cos 4x \neq 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - 4x) \neq 0 \implies \cos 4x \neq 0$. Условие одно: $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$, $m \in \mathbb{Z}$. Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{1}{4}\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \ctg x - 3 \ctg(\frac{\pi}{2} - x) + 5 = 0$

Используем формулу приведения $\ctg(\frac{\pi}{2} - x) = \tg x$:

$2 \ctg x - 3 \tg x + 5 = 0$

Заменим $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при $\tg x \neq 0$):

$\frac{2}{\tg x} - 3 \tg x + 5 = 0$

Сделаем замену $y = \tg x$ ($y \neq 0$):

$\frac{2}{y} - 3y + 5 = 0$

Домножим на $y$:

$2 - 3y^2 + 5y = 0$

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к переменной $x$:

1) $\tg x = 2$

$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -\frac{1}{3}$

$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}-x) \neq 0 \implies \cos x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n, \quad x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.