Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.28. a) $2 \sin^2 (\pi + x) - 5 \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 2 = 0;$

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) - 4 = 0;$

в) $2 \cos^2 x + \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) - 1 = 0;$

г) $5 - 5 \sin 3 (\pi - x) = \cos^2 (\pi - 3x).$

а)Исходное уравнение: $2 \sin^2(\pi + x) - 5 \cos(\frac{\pi}{2} + x) + 2 = 0$.
Воспользуемся формулами приведения: $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.
Так как $\sin(\pi + x)$ возводится в квадрат, то $\sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2 \sin^2(x) - 5(-\sin(x)) + 2 = 0$
$2 \sin^2(x) + 5 \sin(x) + 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x)$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$.
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ и $t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к исходной переменной:
1) $\sin(x) = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
2) $\sin(x) = -\frac{1}{2}$.
$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + 5 \cos(\frac{\pi}{2} - x) - 4 = 0$.
Применим формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.
Уравнение принимает вид: $2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$2(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 4 = 0$
$2 - 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$
$-2 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0$
Умножим обе части на -1: $2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
Возвращаемся к замене:
1) $\sin(x) = \frac{1}{2}$.
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(x) = 2$. Уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) - 1 = 0$.
По формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.
Уравнение сводится к квадратному относительно $\cos(x)$:
$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.
Пусть $t = \cos(x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни: $t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
1) $\cos(x) = -1$.
$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)Исходное уравнение: $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x)$.
Упростим тригонометрические функции.
Для синуса: $\sin(3(\pi - x)) = \sin(3\pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.
Для косинуса: $\cos(\pi - 3x) = -\cos(3x)$, тогда $\cos^2(\pi - 3x) = (-\cos(3x))^2 = \cos^2(3x)$.
Подставляем в уравнение:
$5 - 5 \sin(3x) = \cos^2(3x)$
Используем тождество $\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)$:
$5 - 5 \sin(3x) = 1 - \sin^2(3x)$
Переносим все члены в одну сторону:
$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 4 = 0$.
Пусть $t = \sin(3x)$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:
1) $\sin(3x) = 1$.
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(3x) = 4$. Уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

26.29. a) $2 \text{tg}^2 2x + 3 \text{tg}(\pi + 2x) = 0$;

б) $\text{tg}^2 3x - 6 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0$.

а) $2 \tg^2 2x + 3 \tg(\pi + 2x) = 0$

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения для тангенса, основанной на его периодичности с периодом $\pi$: $\tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha)$.

Применив эту формулу, получим:

$2 \tg^2 2x + 3 \tg(2x) = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tg(2x)$. Вынесем $\tg(2x)$ за скобки:

$\tg(2x) (2 \tg(2x) + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\tg(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = n\pi, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. $2 \tg(2x) + 3 = 0$

$\tg(2x) = -\frac{3}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$2x = -\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса ($2x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, m \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{n\pi}{2}, \quad x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg^2 3x - 6 \ctg\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0$

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\ctg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tg(\alpha)$.

Применив эту формулу, получим:

$\tg^2 3x - 6 \tg(3x) = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tg(3x)$. Вынесем $\tg(3x)$ за скобки:

$\tg(3x) (\tg(3x) - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\tg(3x) = 0$

Решение этого уравнения:

$3x = n\pi, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. $\tg(3x) - 6 = 0$

$\tg(3x) = 6$

Решение этого уравнения:

$3x = \operatorname{arctg}(6) + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса ($3x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, m \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{n\pi}{3}, \quad x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{k\pi}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

26.30. a) $3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 2 \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) - 1 = 0;$

б) $\operatorname{tg}(\pi + x) + 2 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0;$

в) $3 \operatorname{tg}^2 4x - 2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = 1;$

г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 5 = 0.$

а) $3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2 \ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) - 1 = 0$

Сначала упростим уравнение, используя формулы приведения. Для котангенса имеем формулу $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tg \alpha$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) = -\tg \frac{x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2(-\tg \frac{x}{2}) - 1 = 0$

$3 \tg^2 \frac{x}{2} + 2\tg \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного:

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tg \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg \frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения: $\cos \frac{x}{2} \neq 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) \neq 0$. Второе условие эквивалентно $-\cos \frac{x}{2} \neq 0$, так что оба условия сводятся к одному: $x \neq \pi + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$. Найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg(\pi + x) + 2 \tg(\frac{\pi}{2} + x) + 1 = 0$

Используем формулы приведения:

$\tg(\pi + x) = \tg x$ (так как период тангенса равен $\pi$)

$\tg(\frac{\pi}{2} + x) = -\ctg x$

Подставляем упрощенные выражения в уравнение:

$\tg x + 2(-\ctg x) + 1 = 0$

$\tg x - 2\ctg x + 1 = 0$

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при условии, что $\tg x \neq 0$), получаем:

$\tg x - \frac{2}{\tg x} + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tg x$. Условие: $y \neq 0$.

$y - \frac{2}{y} + 1 = 0$

Домножим обе части на $y$:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -2$

$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\cos(\pi+x) \neq 0 \implies \cos x \neq 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}+x) \neq 0 \implies \sin x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $3 \tg^2 4x - 2 \ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = 1$

Применим формулу приведения $\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg \alpha$:

$\ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = \tg 4x$

Подставим в уравнение:

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x = 1$

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tg 4x$:

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1$

$y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к переменной $x$:

1) $\tg 4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 4x = -\frac{1}{3}$

$4x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{4}\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\cos 4x \neq 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - 4x) \neq 0 \implies \cos 4x \neq 0$. Условие одно: $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$, $m \in \mathbb{Z}$. Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{1}{4}\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \ctg x - 3 \ctg(\frac{\pi}{2} - x) + 5 = 0$

Используем формулу приведения $\ctg(\frac{\pi}{2} - x) = \tg x$:

$2 \ctg x - 3 \tg x + 5 = 0$

Заменим $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при $\tg x \neq 0$):

$\frac{2}{\tg x} - 3 \tg x + 5 = 0$

Сделаем замену $y = \tg x$ ($y \neq 0$):

$\frac{2}{y} - 3y + 5 = 0$

Домножим на $y$:

$2 - 3y^2 + 5y = 0$

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к переменной $x$:

1) $\tg x = 2$

$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -\frac{1}{3}$

$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}-x) \neq 0 \implies \cos x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n, \quad x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

26.31. a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2 \cos x \operatorname{tg} x = 1;$

б) $2 \cos^2 x - \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0.$

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2 \cos x \tg x = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\tg x$, который определен, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя тригонометрические формулы приведения и тождества:

1. По формуле приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$. Тогда $\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin^2(2x)$.

2. По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Тогда, с учетом ОДЗ, $2 \cos x \tg x = 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2 \sin x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для аргумента $2x$:

$\sin^2 x + (\cos^2 2x + \sin^2 2x) + 2 \sin x = 1$

$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\sin^2 x + 2 \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 2 = 0 \implies \sin x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x = \pi n$ ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$).

При $x = \pi n$, $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Следовательно, все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x - \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \tg x \tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0$

Найдем ОДЗ. Уравнение содержит $\tg x$ и $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Для $\tg x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Для $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$: $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \neq 0 \implies -\sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя формулы приведения:

1. $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x$.

2. $\tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\ctg x$.

Тогда произведение $\tg x \tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tg x \cdot (-\ctg x) = -1$ (так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 \cos^2 x - (-\cos x) + (-1) = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $|\cos x| \le 1$, то $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни можно записать как $x = \pi(2n+1)$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{2}$).

Корни вида $x = \pi + 2\pi n$ не удовлетворяют ОДЗ, так как при этих значениях $\sin x = 0$, и, следовательно, $\ctg x$ и $\tg(x+\pi/2)$ не определены. Эти корни являются посторонними.

Корни вида $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ не совпадают со значениями $\frac{\pi n}{2}$, так как $\sin(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$ и $\cos(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{1}{2} \neq 0$. Следовательно, эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.