Страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.18. Упростите выражение $\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$, если:

а) $t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right];$

б) $t \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right];$

В) $t \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right];$

Г) $t \in \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right].$

Для упрощения выражения $\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$ воспользуемся тригонометрическими формулами понижения степени, которые являются следствиями из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos 2t = 2\sin^2 t$ и $1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\sqrt{2\sin^2 t} + \sqrt{2\cos^2 t}$

По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому выражение принимает вид:

$\sqrt{2}|\sin t| + \sqrt{2}|\cos t| = \sqrt{2}(|\sin t| + |\cos t|)$

Дальнейшее упрощение заключается в раскрытии модулей, что зависит от знаков $\sin t$ и $\cos t$ в указанных промежутках.

В этом промежутке, соответствующем второй координатной четверти, синус неотрицателен ($\sin t \ge 0$), а косинус неположителен ($\cos t \le 0$). Поэтому $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$. Подставляя эти значения в общее упрощенное выражение, получаем: $\sqrt{2}(\sin t + (-\cos t)) = \sqrt{2}(\sin t - \cos t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\sin t - \cos t)$.

В этом промежутке, соответствующем четвертой координатной четверти, синус неположителен ($\sin t \le 0$), а косинус неотрицателен ($\cos t \ge 0$). Поэтому $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = \cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(-\sin t + \cos t) = \sqrt{2}(\cos t - \sin t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\cos t - \sin t)$.

В этом промежутке, соответствующем первой координатной четверти, и синус, и косинус неотрицательны ($\sin t \ge 0$, $\cos t \ge 0$). Поэтому $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = \cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$.

В этом промежутке, соответствующем третьей координатной четверти, и синус, и косинус неположительны ($\sin t \le 0$, $\cos t \le 0$). Поэтому $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(-\sin t - \cos t) = -\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$. Ответ: $-\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$.

27.19. Вычислите (с помощью формул понижения степени):

а) $ \sin 22,5^\circ $;

б) $ \cos 22,5^\circ $;

в) $ \sin \frac{3\pi}{8} $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{8} $.

а) sin 22,5°

Для вычисления $\sin{22,5^\circ}$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $$ Из этой формулы следует формула половинного угла для синуса: $\sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}}$.

В данном случае $\alpha = 22,5^\circ$. Этот угол находится в первой координатной четверти (от 0° до 90°), поэтому его синус является положительным числом. Знак перед корнем будет «+».

Применим формулу, подставив $\alpha = 22,5^\circ$: $$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \cos(2 \cdot 22,5^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{45^\circ}}{2}} $$

Мы знаем, что значение $\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше выражение: $$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

б) cos 22,5°

Для вычисления $\cos{22,5^\circ}$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $$ Отсюда формула половинного угла для косинуса: $\cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}}$.

Угол $\alpha = 22,5^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен, поэтому выбираем знак «+».

Подставляем $\alpha = 22,5^\circ$ в формулу: $$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \cos(2 \cdot 22,5^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{45^\circ}}{2}} $$

Используя значение $\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

в) sin(3?/8)

Для вычисления $\sin{\frac{3\pi}{8}}$ используем ту же формулу понижения степени для синуса: $$ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}} $$

В данном случае $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ (что равно $67,5^\circ$) находится в первой четверти, поэтому его синус положителен.

Найдем удвоенный угол: $2\alpha = 2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$. Подставим в формулу: $$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $$

Значение косинуса для $\frac{3\pi}{4}$ равно $\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение: $$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

г) cos(3?/8)

Для вычисления $\cos{\frac{3\pi}{8}}$ используем формулу понижения степени для косинуса: $$ \cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}} $$

Угол $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен.

Удвоенный угол $2\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Подставим в формулу: $$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $$

Используя значение $\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

27.20. a) $sin 11^{\circ}15' cos 11^{\circ}15' cos 22^{\circ}30' cos 45^{\circ}$;

б) $sin \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{24} cos \frac{\pi}{12}$.

а)

Для решения данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

Рассмотрим выражение: $sin 11^\circ15' \cdot cos 11^\circ15' \cdot cos 22^\circ30' \cdot cos 45^\circ$.

Сгруппируем первые два множителя и применим формулу, где $\alpha = 11^\circ15'$:

$sin 11^\circ15' \cdot cos 11^\circ15' = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 11^\circ15') = \frac{1}{2} sin(22^\circ30')$.

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\frac{1}{2} sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30') \cdot cos(45^\circ)$.

Снова применим ту же формулу для $sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30')$, где $\alpha = 22^\circ30'$:

$sin(22^\circ30') \cdot cos(22^\circ30') = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 22^\circ30') = \frac{1}{2} sin(45^\circ)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} sin(45^\circ) \right) \cdot cos(45^\circ) = \frac{1}{4} sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ)$.

И еще раз применим формулу для $sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ)$, где $\alpha = 45^\circ$:

$sin(45^\circ) \cdot cos(45^\circ) = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 45^\circ) = \frac{1}{2} sin(90^\circ)$.

Окончательно получаем:

$\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} sin(90^\circ) \right) = \frac{1}{8} sin(90^\circ)$.

Зная, что $sin(90^\circ) = 1$, находим результат:

$\frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей, с использованием формулы синуса двойного угла: $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

Рассмотрим выражение: $sin\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Применим формулу к первым двум множителям, где $\alpha = \frac{\pi}{48}$:

$sin\frac{\pi}{48} \cdot cos\frac{\pi}{48} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{48}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{24}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2} sin\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{24}$:

$sin\frac{\pi}{24} \cdot cos\frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{24}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{12} \right) \cdot cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} sin\frac{\pi}{12} \cdot cos\frac{\pi}{12}$.

Применим формулу в третий раз, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$:

$sin\frac{\pi}{12} \cdot cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{6}$.

Подставим и получим окончательное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} sin\frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{8} sin\frac{\pi}{6}$.

Зная табличное значение $sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, вычисляем ответ:

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

27.21. a) $ \frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ; $

б) $ \frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \operatorname{tg} 65^\circ. $

Вычислим значение выражения $ \frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ $.
Заметим, что $ 80^\circ = 2 \cdot 40^\circ $. Обозначим $ \alpha = 40^\circ $, тогда выражение примет вид: $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha + \sin \alpha} \cdot \operatorname{tg} \alpha $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $: $ 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \cos \alpha = (1 + 2\cos^2 \alpha - 1) + \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (2\cos \alpha + 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin 2\alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha + 1) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь: $ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} $

Поскольку $ \alpha = 40^\circ $, то $ \cos 40^\circ \neq -1/2 $, а значит $ 2\cos \alpha + 1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (2\cos \alpha + 1) $: $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha $.

Исходное выражение сводится к: $ \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} 40^\circ \cdot \operatorname{tg} 40^\circ = 1 $.

Ответ: 1

Вычислим значение выражения $ \frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \operatorname{tg} 65^\circ $.
Заметим, что $ 50^\circ = 2 \cdot 25^\circ $. Обозначим $ \alpha = 25^\circ $, тогда выражение примет вид: $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} 65^\circ $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $: $ 1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - \cos \alpha = (1 + 2\cos^2 \alpha - 1) - \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha (2\cos \alpha - 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin 2\alpha - \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha - 1) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)} $

Поскольку $ \alpha = 25^\circ $, то $ \cos 25^\circ \neq 1/2 $, а значит $ 2\cos \alpha - 1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (2\cos \alpha - 1) $: $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} 25^\circ $.

Исходное выражение сводится к: $ \operatorname{ctg} 25^\circ - \operatorname{tg} 65^\circ $.

Используем формулу приведения $ \operatorname{tg}(90^\circ - x) = \operatorname{ctg} x $. Для $ x = 25^\circ $ получаем: $ \operatorname{tg}(90^\circ - 25^\circ) = \operatorname{tg} 65^\circ = \operatorname{ctg} 25^\circ $.

Тогда выражение принимает вид: $ \operatorname{ctg} 25^\circ - \operatorname{ctg} 25^\circ = 0 $.

Ответ: 0

27.22. a) $\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} - \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}$

б) $\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} - \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ}$

а)

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $\sin 55^\circ \cos 55^\circ$:

$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} - \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ} = \frac{\sin 125^\circ \cos 55^\circ - \cos 125^\circ \sin 55^\circ}{\sin 55^\circ \cos 55^\circ}$

В числителе мы видим формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 125^\circ$ и $\beta = 55^\circ$:

$\sin 125^\circ \cos 55^\circ - \cos 125^\circ \sin 55^\circ = \sin(125^\circ - 55^\circ) = \sin 70^\circ$

Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

$\sin 55^\circ \cos 55^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 55^\circ) = \frac{1}{2} \sin 110^\circ$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\sin 70^\circ}{\frac{1}{2} \sin 110^\circ} = \frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 110^\circ}$

Воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, чтобы упростить знаменатель:

$\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$

Подставляем это значение и получаем конечный результат:

$\frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ} = 2$

Ответ: $2$

б)

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 40^\circ \cos 40^\circ$:

$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} - \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\cos 150^\circ \cos 40^\circ - \sin 150^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}$

Числитель соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 150^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$\cos 150^\circ \cos 40^\circ - \sin 150^\circ \sin 40^\circ = \cos(150^\circ + 40^\circ) = \cos 190^\circ$

Знаменатель преобразуем, используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$:

$\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$

Подставим упрощенные выражения в нашу дробь:

$\frac{\cos 190^\circ}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{2 \cos 190^\circ}{\sin 80^\circ}$

Теперь применим формулы приведения. Для числителя используем $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos 190^\circ = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos 10^\circ$

Для знаменателя используем $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\sin 80^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \cos 10^\circ$

Подставляем полученные значения и вычисляем:

$\frac{2 (-\cos 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = -2$

Ответ: $-2$

27.23. a) $(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})(\cos^3 \frac{\pi}{8} - \sin^3 \frac{\pi}{8})$;

б) $\sin \frac{7\pi}{8} (\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16})$;

в) $(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12})(\cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12})$;

г) $\sin \frac{\pi}{12} (\cos^6 \frac{\pi}{24} - \sin^6 \frac{\pi}{24})$.

а) $(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})(\cos^3 \frac{\pi}{8} - \sin^3 \frac{\pi}{8})$

Для решения воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пусть $a = \cos\frac{\pi}{8}$ и $b = \sin\frac{\pi}{8}$.

Выражение принимает вид:

$(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2+ab)$

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1. $a^2-b^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$. Это формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. $a^2+b^2+ab = \cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$1 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

б) $\sin \frac{7\pi}{8} (\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16})$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4 \frac{7\pi}{16} - \sin^4 \frac{7\pi}{16} = (\cos^2 \frac{7\pi}{16} - \sin^2 \frac{7\pi}{16})(\cos^2 \frac{7\pi}{16} + \sin^2 \frac{7\pi}{16})$

Применяя формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$(\cos(2 \cdot \frac{7\pi}{16})) \cdot 1 = \cos(\frac{7\pi}{8})$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin \frac{7\pi}{8} \cdot \cos(\frac{7\pi}{8})$

Это похоже на формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{7\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{7\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Окончательный результат:

$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) $(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12})(\cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12})$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $a = \cos\frac{\pi}{12}$ и $b = \sin\frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид:

$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2-ab)$

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1. $a^2-b^2 = \cos^2\frac{\pi}{12} - \sin^2\frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $a^2+b^2-ab = \cos^2\frac{\pi}{12} + \sin^2\frac{\pi}{12} - \cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{\pi}{12} = 1 - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 1 - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

г) $\sin \frac{\pi}{12} (\cos^6 \frac{\pi}{24} - \sin^6 \frac{\pi}{24})$

Упростим выражение в скобках, рассматривая его как разность кубов $(\cos^2 \frac{\pi}{24})^3 - (\sin^2 \frac{\pi}{24})^3$.

Пусть $x = \frac{\pi}{24}$. Выражение $\cos^6 x - \sin^6 x$ можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \cos^2 x$ и $b = \sin^2 x$.

$\cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)$

Первая скобка: $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.

Вторая скобка: $\cos^4 x + \sin^4 x + \cos^2 x \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\cos^2 x \sin^2 x + \cos^2 x \sin^2 x = 1^2 - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - (\sin x \cos x)^2$.

Используя формулу синуса двойного угла, $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем: $1 - (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = 1 - \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Таким образом, $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos(2x)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2x))$.

Подставим $x = \frac{\pi}{24}$, тогда $2x = \frac{\pi}{12}$. Исходное выражение становится:

$\sin\frac{\pi}{12} \left[ \cos\frac{\pi}{12} (1 - \frac{1}{4}\sin^2\frac{\pi}{12}) \right] = \sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} (1 - \frac{1}{4}\sin^2\frac{\pi}{12})$

Вычислим множители:

$\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

$\sin^2\frac{\pi}{12}$ найдем по формуле понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\sin^2\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{6})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

Подставим все в выражение:

$\frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{2-\sqrt{3}}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16 - (2-\sqrt{3})}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{14+\sqrt{3}}{16} \right) = \frac{14+\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{14+\sqrt{3}}{64}$.

27.24. a) $\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8}$;

б) $\cos^2 \frac{5\pi}{8} - \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} - \sin^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^6 \frac{5\pi}{8} - \sin^6 \frac{5\pi}{8}$.

а)

Разобьем исходное выражение на три группы и упростим каждую из них по отдельности. Обозначим $x = \frac{3\pi}{8}$.

Выражение имеет вид: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^4 x + \cos^4 x) + (\sin^6 x + \cos^6 x)$.

1. Первая группа является основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

2. Для второй группы воспользуемся формулой квадрата суммы:
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, то $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
Следовательно: $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

3. Для третьей группы воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.
Подставляя известные значения, получаем:
$1 \cdot ((\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.
Аналогично предыдущему пункту: $1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.

Теперь сложим все три упрощенных выражения:
$1 + (1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) + (1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)) = 3 - (\frac{1}{2} + \frac{3}{4})\sin^2(2x) = 3 - \frac{5}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим значение $x = \frac{3\pi}{8}$. Нам нужно найти $\sin^2(2x) = \sin^2(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4})$.
$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение в итоговую формулу:
$3 - \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 - \frac{5}{8} = \frac{24 - 5}{8} = \frac{19}{8}$.

Ответ: $\frac{19}{8}$.

б)

Разобьем исходное выражение на три группы. Обозначим $y = \frac{5\pi}{8}$.

Выражение имеет вид: $(\cos^2 y - \sin^2 y) + (\cos^4 y - \sin^4 y) + (\cos^6 y - \sin^6 y)$.

1. Первая группа является формулой косинуса двойного угла:
$\cos^2 y - \sin^2 y = \cos(2y)$.

2. Вторая группа раскладывается по формуле разности квадратов:
$\cos^4 y - \sin^4 y = (\cos^2 y - \sin^2 y)(\cos^2 y + \sin^2 y) = \cos(2y) \cdot 1 = \cos(2y)$.

3. Третья группа раскладывается по формуле разности кубов:
$\cos^6 y - \sin^6 y = (\cos^2 y)^3 - (\sin^2 y)^3 = (\cos^2 y - \sin^2 y)(\cos^4 y + \cos^2 y \sin^2 y + \sin^4 y)$.
Первый множитель равен $\cos(2y)$. Выражение во второй скобке можно преобразовать, используя результат из пункта а):
$\cos^4 y + \sin^4 y + \cos^2 y \sin^2 y = (1 - 2\cos^2 y \sin^2 y) + \cos^2 y \sin^2 y = 1 - \cos^2 y \sin^2 y$.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $1 - \frac{1}{4}(4\sin^2 y \cos^2 y) = 1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y)$.
Таким образом, третий член равен $\cos(2y)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y))$.

Теперь сложим все три упрощенных выражения:
$\cos(2y) + \cos(2y) + \cos(2y)(1 - \frac{1}{4}\sin^2(2y)) = 2\cos(2y) + \cos(2y) - \frac{1}{4}\cos(2y)\sin^2(2y) = 3\cos(2y) - \frac{1}{4}\cos(2y)\sin^2(2y)$.
Можно вынести $\cos(2y)$ за скобки: $\cos(2y)(3 - \frac{1}{4}\sin^2(2y))$.

Подставим значение $y = \frac{5\pi}{8}$. Нам нужно найти значения $\cos(2y)$ и $\sin^2(2y)$, где $2y = 2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi}{4}$.
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin^2(\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем эти значения в итоговую формулу:
$(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (3 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (3 - \frac{1}{8}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{24-1}{8}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{23}{8} = -\frac{23\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: $-\frac{23\sqrt{2}}{16}$.

27.25. a) $\cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2\pi}{33} \cos \frac{4\pi}{33} \cos \frac{8\pi}{33} \cos \frac{16\pi}{33};$

б) $\cos \frac{\pi}{65} \cos \frac{2\pi}{65} \cos \frac{4\pi}{65} \cos \frac{8\pi}{65} \cos \frac{16\pi}{65} \cos \frac{32\pi}{65}.$

а)

Обозначим данное выражение как $P_a$. $P_a = \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$.

Для вычисления этого произведения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, из которой следует, что $\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2\sin(\alpha)}$.

Умножим и разделим исходное выражение на $2\sin\frac{\pi}{33}$. Заметим, что $\sin\frac{\pi}{33} \neq 0$. $P_a = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33} \right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Применяя формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, получаем: $P_a = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{33}} \left( \sin\frac{2\pi}{33} \right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Повторяя эту операцию последовательно, мы будем сворачивать произведение: $P_a = \frac{1}{2 \cdot 2\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2\sin\frac{2\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \right) \dots = \frac{1}{4\sin\frac{\pi}{33}} \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \dots$

Этот процесс продолжается для всех множителей. В общем виде, для произведения $n$ косинусов вида $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x)$ справедлива формула: $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin(x)}$.

В нашем случае $n=5$ (пять множителей) и $x = \frac{\pi}{33}$. Применяем формулу: $P_a = \frac{\sin(2^5 \cdot \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin(\frac{\pi}{33})} = \frac{\sin(\frac{32\pi}{33})}{32\sin(\frac{\pi}{33})}$

Теперь используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$: $\sin\left(\frac{32\pi}{33}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{33}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{33}\right)$

Подставляем это значение обратно в выражение: $P_a = \frac{\sin(\frac{\pi}{33})}{32\sin(\frac{\pi}{33})} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

б)

Обозначим данное выражение как $P_б$. $P_б = \cos\frac{\pi}{65} \cos\frac{2\pi}{65} \cos\frac{4\pi}{65} \cos\frac{8\pi}{65} \cos\frac{16\pi}{65} \cos\frac{32\pi}{65}$.

Эта задача решается аналогично пункту а). Мы имеем дело с произведением косинусов, углы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Воспользуемся общей формулой, выведенной ранее: $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin(x)}$.

В данном случае у нас 6 множителей, поэтому $n=6$, а базовый угол $x = \frac{\pi}{65}$. $P_б = \frac{\sin(2^6 \cdot \frac{\pi}{65})}{2^6 \sin(\frac{\pi}{65})} = \frac{\sin(\frac{64\pi}{65})}{64\sin(\frac{\pi}{65})}$

Применяем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$: $\sin\left(\frac{64\pi}{65}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{65}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{65}\right)$

Подставляем полученный результат в выражение для $P_б$: $P_б = \frac{\sin(\frac{\pi}{65})}{64\sin(\frac{\pi}{65})} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$