Страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.48. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $\cos 2x + 3 \sin x = 1$;

б) $\sin^2 x = -\cos 2x$;

в) $\cos 2x = \cos^2 x$;

г) $\cos 2x = 2 \sin^2 x$.

Для решения уравнения $cos 2x + 3 sin x = 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$(1 - 2 sin^2 x) + 3 sin x = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - 2 sin^2 x + 3 sin x - 1 = 0$

$-2 sin^2 x + 3 sin x = 0$

Умножим на -1 и вынесем $sin x$ за скобки:

$2 sin^2 x - 3 sin x = 0$

$sin x (2 sin x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $sin x = 0$. Общее решение этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2 sin x - 3 = 0$, что означает $sin x = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как $-1 \le sin x \le 1$.

Теперь отберем корни из серии $x = \pi n$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Для этого решим неравенство $0 \le \pi n \le 2\pi$, что эквивалентно $0 \le n \le 2$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1, n=2$.

При $n=0: x = 0$.

При $n=1: x = \pi$.

При $n=2: x = 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

Решим уравнение $sin^2 x = -cos 2x$. Применим формулу косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$.

$sin^2 x = -(1 - 2 sin^2 x)$

$sin^2 x = -1 + 2 sin^2 x$

$sin^2 x - 2 sin^2 x = -1$

$-sin^2 x = -1$

$sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $sin x = 1$ или $sin x = -1$.

1. Если $sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Решим неравенство $0 \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 2\pi$.

Разделим на $\pi$: $0 \le \frac{1}{2} + n \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1$.

При $n=0: x = \frac{\pi}{2}$.

При $n=1: x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

Для решения уравнения $cos 2x = cos^2 x$ используем формулу $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$.

$2 cos^2 x - 1 = cos^2 x$

$2 cos^2 x - cos^2 x = 1$

$cos^2 x = 1$

Отсюда $cos x = 1$ или $cos x = -1$.

1. Если $cos x = 1$, то $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение можно записать как $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Решим неравенство $0 \le \pi n \le 2\pi$, что эквивалентно $0 \le n \le 2$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1, n=2$.

При $n=0: x = 0$.

При $n=1: x = \pi$.

При $n=2: x = 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

Решим уравнение $cos 2x = 2 sin^2 x$. Снова используем формулу $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$.

$1 - 2 sin^2 x = 2 sin^2 x$

$1 = 4 sin^2 x$

$sin^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда $sin x = \frac{1}{2}$ или $sin x = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем корни на отрезке $[0; 2\pi]$.

1. Для $sin x = \frac{1}{2}$ корни на указанном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ (первая четверть) и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (вторая четверть).

2. Для $sin x = -\frac{1}{2}$ корни на указанном отрезке: $x_3 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ (третья четверть) и $x_4 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ (четвертая четверть).

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

27.49. Решите уравнение:

a) $2 - \cos 2x + 3 \sin x = 0;$

б) $\cos 6x - \cos 3x - 2 = 0;$

в) $26 \sin x \cos x - \cos 4x + 7 = 0;$

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x.$

а) $2 - \cos 2x + 3 \sin x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:

$2 - (1 - 2 \sin^2 x) + 3 \sin x = 0$

$2 - 1 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к исходной переменной.

1) $\sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

б) $\cos 6x - \cos 3x - 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = 3x$, тогда $\cos 6x = 2 \cos^2 3x - 1$.

$(2 \cos^2 3x - 1) - \cos 3x - 2 = 0$

$2 \cos^2 3x - \cos 3x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 3x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $\frac{3}{2} > 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_1 = -1$. Вернемся к исходной переменной.

$\cos 3x = -1$

$3x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

в) $26 \sin x \cos x - \cos 4x + 7 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$.

$13 \cdot (2 \sin x \cos x) - \cos 4x + 7 = 0$

$13 \sin 2x - \cos(2 \cdot 2x) + 7 = 0$

$13 \sin 2x - (1 - 2 \sin^2 2x) + 7 = 0$

$13 \sin 2x - 1 + 2 \sin^2 2x + 7 = 0$

$2 \sin^2 2x + 13 \sin 2x + 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 13t + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 11}{4} = \frac{-24}{4} = -6$

$t_2 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_2 = -\frac{1}{2}$. Вернемся к исходной переменной.

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2 (\sin x \cos x)^2 = 1 - 2 (\sin x \cos x)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$1 - 2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{2} \sin 2x$

$1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2 - \sin^2 2x = \sin 2x$

$\sin^2 2x + \sin 2x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается один корень $t_1 = 1$. Вернемся к исходной переменной.

$\sin 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.

27.50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения:

a) $\cos x = \frac{\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ}{\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ};$

б) $\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}.$

a) Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ}{\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ}$.

Для решения необходимо упростить правую часть уравнения, используя тригонометрические формулы двойного угла.

Упростим числитель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 22.5^\circ) = \frac{1}{2}\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ = \cos(2 \cdot 67.5^\circ) = \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то знаменатель равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$\cos x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Общее решение этого уравнения в градусах: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 360^\circ n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
$x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$.

Это дает две серии корней:
1) $x_1 = 120^\circ + 360^\circ n$
2) $x_2 = -120^\circ + 360^\circ n$

Найдем наибольший отрицательный корень. Для этого подставим различные целые значения $n$.
В первой серии: при $n = 0$, $x = 120^\circ$ (положительный); при $n = -1$, $x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$.
Во второй серии: при $n = 0$, $x = -120^\circ$ (отрицательный); при $n = 1$, $x = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ$ (положительный).
Среди всех отрицательных корней (например, $-120^\circ, -240^\circ, -480^\circ, \dots$) наибольшим является тот, что ближе к нулю. Это $-120^\circ$.

Ответ: $-120^\circ$.

б) Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}$.

Сначала упростим правую часть уравнения.

Упростим числитель. Он похож на формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ) = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$.
Так как $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то числитель равен $-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Упростим знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
$4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 2 \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2 \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Подставим упрощенные значения в уравнение:
$\sin x = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения в градусах можно записать в виде двух серий, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$):
1) $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ k = 60^\circ + 360^\circ k$
2) $x_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ k = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ k = 120^\circ + 360^\circ k$

Найдем наибольший отрицательный корень, подставляя целые значения $k$.
В первой серии: при $k = 0$, $x = 60^\circ$ (положительный); при $k = -1$, $x = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ$.
Во второй серии: при $k = 0$, $x = 120^\circ$ (положительный); при $k = -1$, $x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$.
Сравнивая отрицательные корни $-300^\circ$ и $-240^\circ$, наибольшим является $-240^\circ$.

Ответ: $-240^\circ$.

Решите уравнение:

27.51. a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$.

а)

Для решения уравнения $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$ воспользуемся формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством.
Заменим $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3(2 \sin x \cos x) + (\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$6 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$6 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (3 \cos x - \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $3 \cos x - \sin x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$ и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$3 - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \implies 3 - \tan x = 0 \implies \tan x = 3$.
Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan 3 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$ применим тот же метод, что и в пункте а).
Воспользуемся формулами для аргумента $4x$, выразив его через функции от $2x$: $\sin 4x = 2 \sin(2x) \cos(2x)$, $\cos 4x = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$. Также представим правую часть уравнения как $1 = \sin^2(2x) + \cos^2(2x)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) + 2(2 \sin(2x) \cos(2x)) = \sin^2(2x) + \cos^2(2x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos^2(2x) - \sin^2(2x) + 4 \sin(2x) \cos(2x) - \sin^2(2x) - \cos^2(2x) = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 \sin(2x) \cos(2x) - 2 \sin^2(2x) = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin(2x)$ за скобки:
$2 \sin(2x) (2 \cos(2x) - \sin(2x)) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $2 \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$. Решением этого уравнения является серия $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos(2x) - \sin(2x) = 0$. Это однородное уравнение. Разделив обе его части на $\cos(2x) \neq 0$ (по аналогии с пунктом а), получим:
$2 - \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0 \implies 2 - \tan(2x) = 0 \implies \tan(2x) = 2$.
Отсюда $2x = \arctan 2 + \pi k$, то есть $x = \frac{1}{2} \arctan 2 + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2} \arctan 2 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

27.52. a) $4 \sin x + \sin 2x = 0, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right].$

а) $4 \sin x + \sin 2x = 0$, $x \in [0; 2\pi]$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$4 \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (2 + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

При $n=0$, $x = 0$.

При $n=1$, $x = \pi$.

При $n=2$, $x = 2\pi$.

2) $2 + \cos x = 0 \implies \cos x = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинуса $[-1; 1]$.

Таким образом, решения исходного уравнения на заданном отрезке — это $0, \pi, 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

б) $\cos^2(3x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$, $x \in [\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Пусть $\alpha = 3x + \frac{\pi}{4}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\cos(2(3x + \frac{\pi}{4})) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$:

$-\sin(6x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin(6x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности двух серий:

$6x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$6x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$ из каждой серии:

1) $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$

2) $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} \le \pi$

$\frac{3}{4} \le \frac{1}{18} + \frac{n}{3} \le 1$

$\frac{27}{36} \le \frac{2+12n}{36} \le \frac{36}{36}$

$27 \le 2 + 12n \le 36$

$25 \le 12n \le 34$

$\frac{25}{12} \le n \le \frac{34}{12}$

$2\frac{1}{12} \le n \le 2\frac{10}{12}$

В этом промежутке нет целых значений $n$.

Для второй серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} \le \pi$

$\frac{3}{4} \le \frac{1}{9} + \frac{k}{3} \le 1$

$\frac{27}{36} \le \frac{4+12k}{36} \le \frac{36}{36}$

$27 \le 4 + 12k \le 36$

$23 \le 12k \le 32$

$\frac{23}{12} \le k \le \frac{32}{12}$

$1\frac{11}{12} \le k \le 2\frac{8}{12}$

Единственное целое значение в этом промежутке — $k=2$.

Найдем соответствующий корень: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$.

Этот корень принадлежит заданному отрезку, так как $\frac{3\pi}{4} = \frac{27\pi}{36}$ и $\frac{7\pi}{9} = \frac{28\pi}{36}$, а $\pi = \frac{36\pi}{36}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.

27.53. Сколько корней имеет уравнение:

a) $ (\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2 \sin 2x $ на отрезке $ [\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}] $;

б) $ 2\cos^2 \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + 1 = 0 $ на отрезке $ [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] $?

Рассмотрим уравнение $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2 \sin 2x$ на отрезке $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}]$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу квадрата разности:

$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:

$\cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin 2x$

Вычитая 1 из обеих частей и перенося слагаемые, получаем:

$2 \sin 2x - \sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$2x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем, сколько корней принадлежит отрезку $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$\frac{20\pi}{9} \le \frac{n\pi}{2} \le \frac{28\pi}{9}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 2:

$\frac{40}{9} \le n \le \frac{56}{9}$

Переведем дроби в десятичный вид для удобства:

$4.44... \le n \le 6.22...$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=5$ и $n=6$.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{5\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

Ответ: 2.

Рассмотрим уравнение $2 \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) + 1 = 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Воспользуемся свойством четности функции $\sin^2\alpha$, так как $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, то $\sin^2(-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

$\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) = \sin^2(-(2x - \frac{\pi}{4})) = \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2 \sin^2(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0$

Вынесем 2 за скобки:

$2(\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$2\cos(2 \cdot (2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$

$2\cos(4x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$

$\cos(4x - \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}$

Используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$\sin(4x) = -\frac{1}{2}$

Общие решения этого уравнения задаются двумя сериями:

$4x = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем количество корней в отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии корней $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le -\frac{1}{24} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{1}{24}$

$\frac{13}{24} \le \frac{n}{2} \le \frac{37}{24}$

$\frac{13}{12} \le n \le \frac{37}{12}$

$1.083... \le n \le 3.083...$

Подходящие целые значения $n=2$ и $n=3$. Это дает два корня.

Для второй серии корней $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le \frac{7}{24} + \frac{k}{2} \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} - \frac{7}{24} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{2} - \frac{7}{24}$

$\frac{5}{24} \le \frac{k}{2} \le \frac{29}{24}$

$\frac{5}{12} \le k \le \frac{29}{12}$

$0.416... \le k \le 2.416...$

Подходящие целые значения $k=1$ и $k=2$. Это дает еще два корня.

Всего на заданном отрезке уравнение имеет $2 + 2 = 4$ корня.

Ответ: 4.

27.54. Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

a) $2 \cos^2 x - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$, $(-0,5\pi; 3\pi);$

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2$, $(-\pi; 3,5\pi)?$

а) $2 \cos^2 x - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$, $(-0,5\pi; 3\pi)$

Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого раскроем скобки по формуле квадрата разности $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$ и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а также формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$2 \cos^2 x - \sin 2x = 1 - \sin 2x$.

Прибавим $\sin 2x$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить это слагаемое:
$2 \cos^2 x = 1$.

Разделим обе части на 2:
$\cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Это уравнение эквивалентно двум простейшим тригонометрическим уравнениям:
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этих двух уравнений можно объединить в одну серию корней, так как они соответствуют точкам на единичной окружности, отстоящим друг от друга на $\frac{\pi}{2}$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти количество корней, принадлежащих указанному промежутку $(-0,5\pi; 3\pi)$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$-0,5\pi < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 3\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-0,5 < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < 3$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ (или 0,25) из всех частей:
$-0,5 - 0,25 < \frac{n}{2} < 3 - 0,25$
$-0,75 < \frac{n}{2} < 2,75$.

Умножим все части на 2:
$-1,5 < n < 5,5$.

Целочисленные значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Общее количество таких целых чисел равно 7. Каждому значению $n$ соответствует ровно один корень в заданном промежутке.

Ответ: 7.

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2$, $(-\pi; 3,5\pi)$

Аналогично предыдущему пункту, упростим правую часть уравнения. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ и применим тригонометрические формулы:
$(\cos x + \sin x)^2 + 2 = (\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x) + 2 = (1 + \sin 2x) + 2 = 3 + \sin 2x$.

Подставим упрощенное выражение в исходное уравнение:
$6 \cos^2 x + \sin 2x = 3 + \sin 2x$.

Вычтем $\sin 2x$ из обеих частей уравнения:
$6 \cos^2 x = 3$.

Разделим обе части на 6:
$\cos^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Мы получили то же самое уравнение, что и в пункте а). Его общее решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем количество корней, принадлежащих промежутку $(-\pi; 3,5\pi)$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 3,5\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < 3,5$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ (или 0,25) из всех частей:
$-1 - 0,25 < \frac{n}{2} < 3,5 - 0,25$
$-1,25 < \frac{n}{2} < 3,25$.

Умножим все части на 2:
$-2,5 < n < 6,5$.

Целочисленные значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Общее количество таких целых чисел равно 9.

Ответ: 9.

Решите уравнение:

27.55. a) $1 - \cos x = 2 \sin \frac{x}{2};$

в) $1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2};$

б) $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2};$

г) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}(1 + \cos x).$

а) Исходное уравнение: $1 - \cos x = 2 \sin\frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой понижения степени (или формулой косинуса двойного угла): $1 - \cos x = 2 \sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2 \sin^2\frac{x}{2} = 2 \sin\frac{x}{2}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и разделим на 2:

$\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$ за скобки:

$\sin\frac{x}{2} \left(\sin\frac{x}{2} - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел)

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $1 - \cos x = \sin x \sin\frac{x}{2}$.

Используем формулы половинного и двойного угла: $1 - \cos x = 2 \sin^2\frac{x}{2}$ и $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$.

Подставляем их в уравнение:

$2 \sin^2\frac{x}{2} = \left(2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}\right) \sin\frac{x}{2}$

$2 \sin^2\frac{x}{2} = 2 \sin^2\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$2 \sin^2\frac{x}{2} - 2 \sin^2\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin^2\frac{x}{2}$ за скобки:

$2 \sin^2\frac{x}{2} \left(1 - \cos\frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sin^2\frac{x}{2} = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $1 - \cos\frac{x}{2} = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = 2\pi n \implies x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = 4\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = 2\pi k$), так как любое число вида $4\pi n$ можно представить в виде $2\pi k$, взяв $k=2n$. Таким образом, все решения описываются одной формулой.

Ответ: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $1 + \cos x = 2 \cos\frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cos^2\frac{x}{2} = 2 \cos\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos\frac{x}{2} \left(\cos\frac{x}{2} - 1\right) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = 2\pi n \implies x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin x = \tg^2\frac{x}{2} (1 + \cos x)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием тангенса: $\cos\frac{x}{2} \ne 0$, что означает $\frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \ne \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрические формулы: $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$, $\tg^2\frac{x}{2} = \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}$ и $1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2}$.

Подставим их в уравнение:

$2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \left(2 \cos^2\frac{x}{2}\right)$

С учетом ОДЗ ($\cos\frac{x}{2} \ne 0$), мы можем сократить $\cos^2\frac{x}{2}$ в правой части:

$2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 2 \sin^2\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$:

$\sin\frac{x}{2} \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\frac{2\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = \pm 1 \ne 0$.

2) $\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$

$\sin\frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2}$. Разделим обе части на $\cos\frac{x}{2}$ (мы знаем, что он не равен нулю из ОДЗ):

$\tg\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.