Номер 27.51, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

27.51. a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$.

а)

Для решения уравнения $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$ воспользуемся формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством.
Заменим $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3(2 \sin x \cos x) + (\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$6 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$6 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (3 \cos x - \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $3 \cos x - \sin x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$ и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$3 - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \implies 3 - \tan x = 0 \implies \tan x = 3$.
Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan 3 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$ применим тот же метод, что и в пункте а).
Воспользуемся формулами для аргумента $4x$, выразив его через функции от $2x$: $\sin 4x = 2 \sin(2x) \cos(2x)$, $\cos 4x = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$. Также представим правую часть уравнения как $1 = \sin^2(2x) + \cos^2(2x)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) + 2(2 \sin(2x) \cos(2x)) = \sin^2(2x) + \cos^2(2x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos^2(2x) - \sin^2(2x) + 4 \sin(2x) \cos(2x) - \sin^2(2x) - \cos^2(2x) = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 \sin(2x) \cos(2x) - 2 \sin^2(2x) = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin(2x)$ за скобки:
$2 \sin(2x) (2 \cos(2x) - \sin(2x)) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $2 \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$. Решением этого уравнения является серия $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos(2x) - \sin(2x) = 0$. Это однородное уравнение. Разделив обе его части на $\cos(2x) \neq 0$ (по аналогии с пунктом а), получим:
$2 - \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0 \implies 2 - \tan(2x) = 0 \implies \tan(2x) = 2$.
Отсюда $2x = \arctan 2 + \pi k$, то есть $x = \frac{1}{2} \arctan 2 + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2} \arctan 2 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.