Номер 27.46, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

27.46. a) $\sin 2x - 2 \cos x = 0;$

б) $2 \sin x = \sin 2x;$

в) $\sin 2x - \sin x = 0;$

г) $\sin 2x - \cos x = 0.$

а) Исходное уравнение: $\sin 2x - 2 \cos x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:
$2 \cos x (\sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что вторая серия корней ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$), поскольку все значения из второй серии получаются из первой при четных $k$ (т.е., $k=2n$). Следовательно, общим решением является первая, более общая, серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $2 \sin x = \sin 2x$.
Перенесем все члены в одну сторону и применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x - \sin 2x = 0$
$2 \sin x - 2 \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (1 - \cos x) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$. Решением является $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$. Решением является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней ($x = 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \pi k$), так как получается из нее при четных значениях $k$ (т.е., $k=2n$). Таким образом, все решения описываются первой, более общей, формулой.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin 2x - \sin x = 0$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\sin x = 0$. Решением является $x = \pi k$.
2) $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$. Решением является $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
Объединяем обе серии корней.
Ответ: $x = \pi k; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin 2x - \cos x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\cos x = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. Решением является $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Объединяем обе серии корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.