Номер 27.45, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.45. а) Зная, что $t = \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

б) зная, что $t = \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{4}\right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

в) зная, что $t = \arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

г) зная, что $t = \operatorname{arcctg} \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{t}{2}$.

а) Дано $t = \arccos\frac{3}{5}$.

По определению арккосинуса, $\cos t = \frac{3}{5}$ и $t \in [0, \pi]$. Поскольку $\cos t > 0$, угол $t$ находится в первой четверти: $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

Это означает, что угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$. Для таких углов синус, косинус и тангенс неотрицательны.

Используем формулы половинного угла:

$\sin\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{1}{2}$.

б) Дано $t = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$.

По определению арктангенса, $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$ и $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Поскольку $\operatorname{tg} t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти: $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$. Для таких углов $\sin\frac{t}{2} < 0$, а $\cos\frac{t}{2} > 0$.

Найдем $\cos t$. Из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ получаем:$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $t \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $\cos t > 0$, поэтому $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Применяем формулы половинного угла с учетом знаков:

$\sin\frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = -\frac{1}{3}$.

в) Дано $t = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$.

По определению арксинуса, $\sin t = -\frac{5}{13}$ и $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Поскольку $\sin t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти: $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$. Для таких углов $\sin\frac{t}{2} \le 0$, а $\cos\frac{t}{2} > 0$.

Найдем $\cos t$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.

Так как $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$, $\cos t \ge 0$, поэтому $\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Применяем формулы половинного угла с учетом знаков:

$\sin\frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = -\frac{1}{5}$.

г) Дано $t = \operatorname{arcctg}\frac{12}{5}$.

По определению арккотангенса, $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$ и $t \in (0, \pi)$. Поскольку $\operatorname{ctg} t > 0$, угол $t$ находится в первой четверти: $t \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Следовательно, угол $\frac{t}{2}$ находится в промежутке $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$. Для таких углов синус, косинус и тангенс положительны.

Найдем $\cos t$. Из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$ найдем $\sin t$:$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Так как $t \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, $\sin t > 0$, поэтому $\sin t = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь найдем $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ (косинус положителен в первой четверти).

Применяем формулы половинного угла:

$\sin\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\cos\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$.

$\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\sin\frac{t}{2} = \frac{\sqrt{26}}{26}$, $\cos\frac{t}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$, $\operatorname{tg}\frac{t}{2} = \frac{1}{5}$.