Номер 27.44, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.44. а) Зная, что $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

б) Зная, что $t = 2 \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{4}\right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

в) Зная, что $t = 2 \arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$;

г) Зная, что $t = 2 \operatorname{arcctg} \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\operatorname{tg} t$, $\operatorname{ctg} t$.

а) Дано $t = 2 \arccos\frac{3}{5}$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in [0, \pi]$. Так как $\frac{3}{5} > 0$, то угол $\alpha$ находится в первой четверти: $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
Для этого угла $\sin\alpha > 0$. Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций для $t = 2\alpha$, используя формулы двойного угла:
$\cos t = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25}$.
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $\sin t = \frac{24}{25}, \cos t = -\frac{7}{25}, \text{tg } t = -\frac{24}{7}, \text{ctg } t = -\frac{7}{24}$.

б) Дано $t = 2 \text{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$.
Пусть $\alpha = \text{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right)$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арктангенса, $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ и $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Так как $-\frac{3}{4} < 0$, то угол $\alpha$ находится в четвертой четверти: $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.
В этой четверти $\cos\alpha > 0$ и $\sin\alpha < 0$.
Из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ найдем $\cos\alpha$:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{25/16} = \frac{16}{25}$.
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $\sin t = -\frac{24}{25}, \cos t = \frac{7}{25}, \text{tg } t = -\frac{24}{7}, \text{ctg } t = -\frac{7}{24}$.

в) Дано $t = 2 \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$.
Пусть $\alpha = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арксинуса, $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Так как $-\frac{5}{13} < 0$, то угол $\alpha$ находится в четвертой четверти: $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$.
В этой четверти $\cos\alpha > 0$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{169}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{12}{13}\right)^2 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{119}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{119}{120}$.
Ответ: $\sin t = -\frac{120}{169}, \cos t = \frac{119}{169}, \text{tg } t = -\frac{120}{119}, \text{ctg } t = -\frac{119}{120}$.

г) Дано $t = 2 \text{arcctg}\frac{12}{5}$.
Пусть $\alpha = \text{arcctg}\frac{12}{5}$. Тогда $t = 2\alpha$.
По определению арккотангенса, $\text{ctg}\alpha = \frac{12}{5}$ и $\alpha \in (0, \pi)$. Так как $\frac{12}{5} > 0$, то угол $\alpha$ находится в первой четверти: $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
В этой четверти $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$.
Из тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ найдем $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{169/25} = \frac{25}{169}$.
$\sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
$\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим значения для $t = 2\alpha$:
$\sin t = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
$\cos t = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{12}{13}\right)^2 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$.
$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{120/169}{119/169} = \frac{120}{119}$.
$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{119}{120}$.
Ответ: $\sin t = \frac{120}{169}, \cos t = \frac{119}{169}, \text{tg } t = \frac{120}{119}, \text{ctg } t = \frac{119}{120}$.