Номер 27.37, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.37. Сравните числа a и b, если:

а) $a = \sin \frac{\pi}{12}, b = \frac{1}{4};$

б) $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}, b = \frac{1}{2}.$

а) Чтобы сравнить числа $a = \sin\frac{\pi}{12}$ и $b = \frac{1}{4}$, найдем точное значение $a$.
Представим угол $\frac{\pi}{12}$ (что соответствует $15^\circ$) как разность известных углов, например, $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ ($45^\circ - 30^\circ$).
Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$a = \sin\frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$.
Подставляем табличные значения: $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Теперь сравним $a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ и $b = \frac{1}{4}$. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сравнению их числителей: $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ и $1$.
Докажем, что $\sqrt{6} - \sqrt{2} > 1$.
Перенесем $\sqrt{2}$ вправо: $\sqrt{6} > 1 + \sqrt{2}$.
Возведем в квадрат обе части неравенства (они обе положительны):
$(\sqrt{6})^2 > (1 + \sqrt{2})^2$
$6 > 1 + 2\sqrt{2} + 2$
$6 > 3 + 2\sqrt{2}$
$3 > 2\sqrt{2}$
Снова возведем в квадрат обе положительные части:
$3^2 > (2\sqrt{2})^2$
$9 > 4 \cdot 2$
$9 > 8$
Так как неравенство $9 > 8$ истинно, а все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\sqrt{6} - \sqrt{2} > 1$ верно. Таким образом, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

б) Чтобы сравнить числа $a = \operatorname{tg}\frac{\pi}{8}$ и $b = \frac{1}{2}$, найдем точное значение $a$.
Угол $\frac{\pi}{8}$ является половиной угла $\frac{\pi}{4}$. Воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Примем $\alpha = \frac{\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$.
$a = \operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}}$.
Подставим табличные значения: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$a = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$.
Теперь сравним $a = \sqrt{2} - 1$ и $b = \frac{1}{2}$.
Предположим, что $\sqrt{2} - 1 < \frac{1}{2}$.
Перенесем $1$ вправо: $\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{2}$, то есть $\sqrt{2} < \frac{3}{2}$.
Возведем в квадрат обе части неравенства (они обе положительны):
$(\sqrt{2})^2 < (\frac{3}{2})^2$
$2 < \frac{9}{4}$
$2 < 2.25$
Так как неравенство $2 < 2.25$ истинно, а все преобразования были равносильными, то и исходное предположение $\sqrt{2} - 1 < \frac{1}{2}$ верно. Таким образом, $a < b$.
Ответ: $a < b$.