Номер 27.40, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.40. а) Зная, что $f(x) = \sin x, f(a) = 0,1$, вычислите $f(3a)$;

б) Зная, что $f(x) = \sin x, f(a) = 0,25$, вычислите $f(4a)$;

в) Зная, что $f(x) = \cos x, f(a) = -0,1$, вычислите $f(3a)$;

г) Зная, что $f(x) = \cos x, f(a) = \frac{2}{3}$, вычислите $f(4a)$.

а)

По условию, $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,1$. Это означает, что $\sin a = 0,1$.
Нам нужно вычислить $f(3a)$, что соответствует $\sin(3a)$.
Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.
Подставим известное значение $\sin a = 0,1$ в формулу:
$f(3a) = \sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a = 3(0,1) - 4(0,1)^3 = 0,3 - 4(0,001) = 0,3 - 0,004 = 0,296$.
Ответ: $0,296$.

б)

По условию, $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,25$. Это означает, что $\sin a = 0,25 = \frac{1}{4}$.
Нам нужно вычислить $f(4a)$, что соответствует $\sin(4a)$.
Воспользуемся формулой синуса четверного угла, которую можно вывести из формул двойного угла: $\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a)$.
Сначала найдем $\cos(2a)$, используя формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус:
$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Теперь найдем $\sin(2a)$. Формула синуса двойного угла: $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.
Для нахождения $\cos a$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$.
$\cos^2 a = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Отсюда $\cos a = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Поскольку значение $\sin a = 0,25 > 0$, угол $a$ может находиться в I или II координатной четверти. В I четверти $\cos a > 0$, а во II четверти $\cos a < 0$. Так как нет дополнительной информации, мы должны рассмотреть оба варианта.
Следовательно, $\sin(2a) = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (\pm\frac{\sqrt{15}}{4}) = \pm\frac{\sqrt{15}}{8}$.
Теперь мы можем вычислить $\sin(4a)$:
$f(4a) = \sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a) = 2 \cdot (\pm\frac{\sqrt{15}}{8}) \cdot \frac{7}{8} = \pm\frac{14\sqrt{15}}{64} = \pm\frac{7\sqrt{15}}{32}$.
Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: $\pm\frac{7\sqrt{15}}{32}$.

в)

По условию, $f(x) = \cos x$ и $f(a) = -0,1$. Это означает, что $\cos a = -0,1$.
Нам нужно вычислить $f(3a)$, что соответствует $\cos(3a)$.
Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
Подставим известное значение $\cos a = -0,1$ в формулу:
$f(3a) = \cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a = 4(-0,1)^3 - 3(-0,1) = 4(-0,001) + 0,3 = -0,004 + 0,3 = 0,296$.
Ответ: $0,296$.

г)

По условию, $f(x) = \cos x$ и $f(a) = \frac{2}{3}$. Это означает, что $\cos a = \frac{2}{3}$.
Нам нужно вычислить $f(4a)$, что соответствует $\cos(4a)$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла дважды. Сначала выразим $\cos(4a)$ через $\cos(2a)$:
$\cos(4a) = 2\cos^2(2a) - 1$.
Теперь найдем $\cos(2a)$, используя известное значение $\cos a$:
$\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2(\frac{2}{3})^2 - 1 = 2(\frac{4}{9}) - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$.
Наконец, подставим значение $\cos(2a)$ в формулу для $\cos(4a)$:
$f(4a) = \cos(4a) = 2\cos^2(2a) - 1 = 2(-\frac{1}{9})^2 - 1 = 2(\frac{1}{81}) - 1 = \frac{2}{81} - \frac{81}{81} = -\frac{79}{81}$.
Ответ: $-\frac{79}{81}$.