Номер 27.33, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.33. a) Зная, что $\cos 4x = -\frac{527}{625}$, $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, вычислите $\sin x$;

б) зная, что $\cos 4x = \frac{17}{81}$, $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$, вычислите $\operatorname{tg} x$.

а)

Нам дано, что $cos(4x) = -\frac{527}{625}$ и $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$.
Мы будем использовать формулы косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$ и $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.
Сначала найдем $cos(2x)$. Применим первую формулу для $\alpha = 2x$:$
$cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1$
Подставим известное значение $cos(4x)$:
$-\frac{527}{625} = 2cos^2(2x) - 1$
$2cos^2(2x) = 1 - \frac{527}{625} = \frac{625 - 527}{625} = \frac{98}{625}$
$cos^2(2x) = \frac{98}{2 \cdot 625} = \frac{49}{625}$
Теперь определим знак $cos(2x)$. Из условия $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, умножив неравенство на 2, получаем $\frac{\pi}{2} < 2x < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $cos(2x) = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$.
Теперь используем вторую формулу, чтобы найти $sin(x)$:
$cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$
Подставим найденное значение $cos(2x)$:
$-\frac{7}{25} = 1 - 2sin^2(x)$
$2sin^2(x) = 1 - (-\frac{7}{25}) = 1 + \frac{7}{25} = \frac{25+7}{25} = \frac{32}{25}$
$sin^2(x) = \frac{32}{2 \cdot 25} = \frac{16}{25}$
Определим знак $sin(x)$. Из условия $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ следует, что угол $x$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен.
Следовательно, $sin(x) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

б)

Нам дано, что $cos(4x) = \frac{17}{81}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$.
Сначала найдем $cos(2x)$, используя формулу $cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1$.
$\frac{17}{81} = 2cos^2(2x) - 1$
$2cos^2(2x) = 1 + \frac{17}{81} = \frac{81 + 17}{81} = \frac{98}{81}$
$cos^2(2x) = \frac{98}{2 \cdot 81} = \frac{49}{81}$
Определим знак $cos(2x)$. Из условия $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$, умножив неравенство на 2, получаем $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $cos(2x) = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9}$.
Теперь найдем $tg(x)$. Используем формулу, связывающую тангенс угла с косинусом двойного угла: $tg^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$.
Применим эту формулу для $\alpha = x$:
$tg^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{1 + cos(2x)}$
Подставим найденное значение $cos(2x)$:
$tg^2(x) = \frac{1 - (-\frac{7}{9})}{1 + (-\frac{7}{9})} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{1 - \frac{7}{9}} = \frac{\frac{9+7}{9}}{\frac{9-7}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{16}{2} = 8$
Определим знак $tg(x)$. Из условия $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$ следует, что угол $x$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен.
Следовательно, $tg(x) = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-2\sqrt{2}$.