Номер 27.32, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.32. a) Зная, что $tg \frac{x}{2} = a$, найдите $sin \frac{2x - \pi}{2}$, $cos \frac{2x + \pi}{2}$;

б) зная, что $tg \frac{x}{4} = a$, найдите $sin \frac{x - 3\pi}{2}$, $cos \frac{x + 3\pi}{2}$.

а) Дано, что $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = a$. Необходимо найти $\sin\frac{2x-\pi}{2}$ и $\cos\frac{2x+\pi}{2}$.

Сначала преобразуем аргументы искомых тригонометрических функций и применим формулы приведения.
1. $\sin\frac{2x-\pi}{2} = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos\alpha$, получаем: $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$.
2. $\cos\frac{2x+\pi}{2} = \cos(x + \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$, получаем: $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$.

Теперь задача сводится к нахождению $-\cos x$ и $-\sin x$. Для этого выразим $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки и данное условие $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = a$:
$\sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2a}{1+a^2}$
$\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$

Подставим полученные выражения в результаты, полученные после применения формул приведения:
1. $\sin\frac{2x-\pi}{2} = -\cos x = - \left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = \frac{a^2-1}{1+a^2}$
2. $\cos\frac{2x+\pi}{2} = -\sin x = -\frac{2a}{1+a^2}$

Ответ: $\sin\frac{2x-\pi}{2} = \frac{a^2-1}{a^2+1}$; $\cos\frac{2x+\pi}{2} = -\frac{2a}{1+a^2}$.

б) Дано, что $\operatorname{tg}\frac{x}{4} = a$. Необходимо найти $\sin\frac{x-3\pi}{2}$ и $\cos\frac{x+3\pi}{2}$.

Сначала преобразуем аргументы искомых тригонометрических функций и применим формулы приведения.
1. $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \sin(\frac{x}{2} - \frac{3\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos\alpha$, получаем: $\sin(\frac{x}{2} - \frac{3\pi}{2}) = \cos\frac{x}{2}$.
2. $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2})$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin\alpha$, получаем: $\cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2}) = \sin\frac{x}{2}$.

Теперь задача сводится к нахождению $\cos\frac{x}{2}$ и $\sin\frac{x}{2}$. Выразим $\sin\frac{x}{2}$ и $\cos\frac{x}{2}$ через тангенс половинного для них угла, то есть через $\operatorname{tg}\frac{x}{4} = a$, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки:
$\sin \frac{x}{2} = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{2a}{1+a^2}$
$\cos \frac{x}{2} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$

Таким образом, мы находим искомые значения:
1. $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \cos\frac{x}{2} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$
2. $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \sin\frac{x}{2} = \frac{2a}{1+a^2}$

Ответ: $\sin\frac{x-3\pi}{2} = \frac{1-a^2}{1+a^2}$; $\cos\frac{x+3\pi}{2} = \frac{2a}{1+a^2}$.