Номер 27.38, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.38. Выразите:

а) $ \sin 3x $ через $ \sin x $;

б) $ \cos 3x $ через $ \cos x $.

а) sin 3x через sin x;

Для того чтобы выразить $\sin 3x$ через $\sin x$, воспользуемся формулой синуса суммы и формулами двойного угла. Сначала представим $3x$ в виде суммы $2x+x$.

$\sin 3x = \sin(2x + x)$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

Теперь используем формулы двойного угла. Чтобы в конечном итоге получить выражение, зависящее только от $\sin x$, применим следующие формулы: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\sin 3x = (2\sin x \cos x)\cos x + (1 - 2\sin^2 x)\sin x$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\sin 3x = 2\sin x \cos^2 x + \sin x - 2\sin^3 x$

Чтобы исключить $\cos^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$\sin 3x = 2\sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2\sin^3 x$

Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin 3x = 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x$

$\sin 3x = (2\sin x + \sin x) + (-2\sin^3 x - 2\sin^3 x)$

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

Ответ: $3\sin x - 4\sin^3 x$

б) cos 3x через cos x.

Для того чтобы выразить $\cos 3x$ через $\cos x$, поступим аналогично. Представим $3x$ в виде суммы $2x+x$.

$\cos 3x = \cos(2x + x)$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

Теперь используем формулы двойного угла. Чтобы в конечном итоге получить выражение, зависящее только от $\cos x$, применим следующие формулы: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\cos 3x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x \sin^2 x$

Чтобы исключить $\sin^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x (1 - \cos^2 x)$

Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x$

$\cos 3x = (2\cos^3 x + 2\cos^3 x) + (-\cos x - 2\cos x)$

$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

Ответ: $4\cos^3 x - 3\cos x$