Номер 27.41, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.41. a) Зная, что $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$ и $1 < t < 3$, вычислите $\mathrm{tg} t$;

б) Зная, что $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$ и $4 < t < 6$, вычислите $\mathrm{ctg} t$.

а)

Дано уравнение $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$ и условие $1 < t < 3$.

Чтобы решить уравнение, приведем его к одной тригонометрической функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$15(1 - 2 \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$

$15 - 30 \sin^2 t + 8 \sin t - 9 = 0$

$-30 \sin^2 t + 8 \sin t + 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ и разделим на $2$, чтобы упростить его:

$15 \sin^2 t - 4 \sin t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin t$. Сделаем замену $x = \sin t$:

$15x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-3) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2 \cdot 15} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2 \cdot 15} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, мы получили два возможных значения для синуса: $\sin t = \frac{3}{5}$ или $\sin t = -\frac{1}{3}$.

Теперь воспользуемся условием $1 < t < 3$. Так как $\pi \approx 3.14159$, интервал $(1, 3)$ полностью находится внутри интервала $(0, \pi)$, то есть в первой и второй координатных четвертях. В этих четвертях значение синуса всегда положительно ($\sin t > 0$).

Поэтому решение $\sin t = -\frac{1}{3}$ не подходит. Остается единственное верное решение: $\sin t = \frac{3}{5}$.

Для того чтобы найти $\mathrm{tg} t$, нам нужно вычислить $\cos t$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Чтобы определить знак косинуса, уточним, в какой четверти находится угол $t$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, а $t$ находится в интервале $(1, 3)$, нам нужно определить, $t < \frac{\pi}{2}$ или $t > \frac{\pi}{2}$. Уравнению $\sin t = 3/5$ на интервале $(0, \pi)$ соответствуют два угла: $t_1 = \arcsin(3/5) \approx 0.64$ и $t_2 = \pi - \arcsin(3/5) \approx 3.14 - 0.64 = 2.5$. Условию $1 < t < 3$ удовлетворяет только $t_2 \approx 2.5$, который находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.

Значит, $\cos t = -\frac{4}{5}$.

Наконец, вычисляем тангенс:

$\mathrm{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б)

Дано уравнение $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$ и условие $4 < t < 6$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\cos t$.

$6(2 \cos^2 t - 1) + 5 \cos t + 3 = 0$

$12 \cos^2 t - 6 + 5 \cos t + 3 = 0$

$12 \cos^2 t + 5 \cos t - 3 = 0$

Сделаем замену $y = \cos t$:

$12y^2 + 5y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$

Таким образом, $\cos t = \frac{1}{3}$ или $\cos t = -\frac{3}{4}$.

Рассмотрим условие $4 < t < 6$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, интервал $(4, 6)$ включает углы из третьей четверти (где $\cos t < 0$) и четвертой четверти (где $\cos t > 0$). Проверим оба варианта.

1. Если $\cos t = -\frac{3}{4}$. Общее решение $t = \pm \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi n$. Учитывая, что $\arccos(-\frac{3}{4}) \approx 2.42$, получаем $t \approx \pm 2.42 + 6.28n$. Ближайшее к интервалу $(4, 6)$ значение $t \approx -2.42 + 6.28 = 3.86$, которое не входит в заданный интервал.

2. Если $\cos t = \frac{1}{3}$. Общее решение $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$. Учитывая, что $\arccos(\frac{1}{3}) \approx 1.23$, получаем $t \approx \pm 1.23 + 6.28n$. При $n=1$ и знаке "минус" имеем $t \approx -1.23 + 6.28 = 5.05$. Это значение удовлетворяет условию $4 < 5.05 < 6$.

Следовательно, верным является значение $\cos t = \frac{1}{3}$, а угол $t$ находится в четвертой четверти.

Теперь найдем $\sin t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin t = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Поскольку угол $t$ находится в четвертой четверти, синус отрицателен: $\sin t = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Вычислим котангенс:

$\mathrm{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\mathrm{ctg} t = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.