Номер 27.35, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.35. a) Известно, что $sin 2\alpha = \frac{1}{3}$. Вычислите $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

б) Известно, что $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha = \frac{49}{50}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислите $sin 2\alpha$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла.

Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части тождества в квадрат:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 = 1^2$

$sin^4\alpha + 2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha = 1$

Отсюда выразим искомую сумму:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - 2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cdot cos\alpha$.

Возведем обе части этой формулы в квадрат:

$sin^2(2\alpha) = (2sin\alpha \cdot cos\alpha)^2 = 4sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$

Из этого выражения можно найти $2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$:

$2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

Подставим это в наше выражение для суммы четвертых степеней:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

По условию задачи известно, что $sin(2\alpha) = \frac{1}{3}$. Подставим это значение в полученную формулу:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{1}{18} = \frac{18}{18} - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$

Ответ: $\frac{17}{18}$

б)

Воспользуемся формулой, выведенной в пункте а):

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

По условию известно, что $sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{49}{50}$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{49}{50} = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

Теперь решим это уравнение относительно $sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2}sin^2(2\alpha) = 1 - \frac{49}{50}$

$\frac{1}{2}sin^2(2\alpha) = \frac{50}{50} - \frac{49}{50} = \frac{1}{50}$

$sin^2(2\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $sin(2\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$

Чтобы выбрать правильный знак, используем второе условие задачи: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти.

Найдем, в какой четверти находится угол $2\alpha$. Для этого умножим неравенство на 2:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \pi$

$\pi < 2\alpha < 2\pi$

Этот диапазон соответствует третьей и четвертой координатным четвертям. Синус в этих четвертях принимает отрицательные значения.

Следовательно, мы должны выбрать отрицательное значение:

$sin(2\alpha) = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$