Номер 27.31, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.31 a) Известно, что $ \sin 2x = - \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < x < \pi $. Вычислите:

$ \cos x, \sin x, \tan x, \cot x $.

б) Известно, что $ \tan 2x = \frac{3}{4}, \pi < x < \frac{5\pi}{4} $. Вычислите:

$ \cos x, \sin x, \tan x, \cot x $.

а)

По условию задачи, угол $x$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sin(x) > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($cos(x) < 0, tg(x) < 0, ctg(x) < 0$).

Для нахождения искомых значений воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой через тангенс. Формула синуса двойного угла через тангенс одинарного угла выглядит так: $sin(2x) = \frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}$

Пусть $T = tg(x)$. Подставим заданное значение $sin(2x) = -\frac{3}{5}$ в формулу: $-\frac{3}{5} = \frac{2T}{1+T^2}$

Решим полученное уравнение относительно $T$: $-3(1+T^2) = 5(2T)$
$-3 - 3T^2 = 10T$
$3T^2 + 10T + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$T_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$T_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба полученных значения для $tg(x)$ отрицательны, что не противоречит условию нахождения угла $x$ во второй четверти. Это означает, что задача имеет два возможных набора решений в зависимости от того, в какой части второй четверти находится угол $x$ (до или после $\frac{3\pi}{4}$).

Случай 1: $tg(x) = -3$

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = -\frac{1}{3}$.

- Найдем $cos(x)$ из основного тригонометрического тождества, связывающего тангенс и косинус: $1+tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$.
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(-3)^2} = \frac{1}{10}$.
Так как $x$ находится во второй четверти, $cos(x)$ отрицателен: $cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$ из определения тангенса: $sin(x) = tg(x) \cdot cos(x)$.
$sin(x) = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Случай 2: $tg(x) = -\frac{1}{3}$

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = -3$.

- Найдем $cos(x)$:
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $cos(x) < 0$, то $cos(x) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$:
$sin(x) = tg(x) \cdot cos(x) = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ:
Первый набор решений: $cos(x) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = -3$, $ctg(x) = -\frac{1}{3}$.
Второй набор решений: $cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = -\frac{1}{3}$, $ctg(x) = -3$.

б)

По условию, угол $x$ находится в интервале $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны ($sin(x) < 0, cos(x) < 0$), а тангенс и котангенс положительны ($tg(x) > 0, ctg(x) > 0$).

Используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1-tg^2(x)}$

Пусть $T = tg(x)$. Подставим заданное значение $tg(2x) = \frac{3}{4}$ в формулу: $\frac{3}{4} = \frac{2T}{1-T^2}$

Решим полученное уравнение относительно $T$: $3(1-T^2) = 4(2T)$
$3 - 3T^2 = 8T$
$3T^2 + 8T - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$T_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$T_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Так как угол $x$ находится в третьей четверти, его тангенс должен быть положительным. Поэтому мы выбираем корень $T_2 = \frac{1}{3}$. Итак, $tg(x) = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем остальные тригонометрические функции.

- $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = \frac{1}{1/3} = 3$.

- Найдем $cos(x)$ из тождества $1+tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$:
$cos^2(x) = \frac{1}{1+tg^2(x)} = \frac{1}{1+(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $x$ находится в третьей четверти, $cos(x)$ отрицателен: $cos(x) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

- Найдем $sin(x)$ из $sin(x) = tg(x) \cdot cos(x)$:
$sin(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10}) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $sin(x) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $tg(x) = \frac{1}{3}$, $ctg(x) = 3$.