Номер 27.34, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.34. Вычислите $sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$, если:

a) $sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = a;$

б) $cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = a.$

а)

Для решения этой задачи нам нужно выразить $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $ через данное выражение $ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = a $.
Ключевая идея состоит в том, чтобы использовать формулы двойного угла и формулы приведения.
Давайте сделаем замену. Пусть $ y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. По условию, $ \sin(y) = a $.
Теперь выразим $ x $ через $ y $:
$ \frac{x}{2} = y + \frac{\pi}{6} \implies x = 2y + \frac{\pi}{3} $.
Подставим это выражение для $ x $ в искомую функцию:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2y + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right) $.
Теперь применим формулу приведения $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha) $:
$ \sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(2y) $.
Мы знаем $ \sin(y) = a $, и нам нужно найти $ \cos(2y) $. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с синусом одинарного угла:
$ \cos(2y) = 1 - 2\sin^2(y) $.
Подставляя известное значение $ \sin(y) = a $, получаем:
$ \cos(2y) = 1 - 2a^2 $.
Таким образом, $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - 2a^2 $.
Ответ: $ 1 - 2a^2 $.

б)

В этом случае нам нужно вычислить $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $, используя условие $ \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a $.
Метод решения аналогичен предыдущему пункту.
Сделаем замену. Пусть $ z = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} $. По условию, $ \cos(z) = a $.
Выразим $ x $ через $ z $:
$ \frac{x}{2} = z - \frac{\pi}{3} \implies x = 2z - \frac{2\pi}{3} $.
Подставим это выражение для $ x $ в искомую функцию:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2z - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right) $.
Применим формулу приведения $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $:
$ \sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(2z) $.
Мы знаем $ \cos(z) = a $, и нам нужно найти $ -\cos(2z) $. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с косинусом одинарного угла:
$ \cos(2z) = 2\cos^2(z) - 1 $.
Подставляя известное значение $ \cos(z) = a $, получаем:
$ \cos(2z) = 2a^2 - 1 $.
Следовательно, искомое значение равно:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos(2z) = -(2a^2 - 1) = 1 - 2a^2 $.
Ответ: $ 1 - 2a^2 $.