Номер 27.34, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени - номер 27.34, страница 169.

Условие.

27.34. Вычислите $sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$, если:

a) $sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = a;$

б) $cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а)

Для решения этой задачи нам нужно выразить $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ через данное выражение $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = a$.
Ключевая идея состоит в том, чтобы использовать формулы двойного угла и формулы приведения.
Давайте сделаем замену. Пусть $y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$. По условию, $\sin(y) = a$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$\frac{x}{2} = y + \frac{\pi}{6} \implies x = 2y + \frac{\pi}{3}$.
Подставим это выражение для $x$ в искомую функцию:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2y + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right)$.
Теперь применим формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha)$:
$\sin\left(2y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(2y)$.
Мы знаем $\sin(y) = a$, и нам нужно найти $\cos(2y)$. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с синусом одинарного угла:
$\cos(2y) = 1 - 2\sin^2(y)$.
Подставляя известное значение $\sin(y) = a$, получаем:
$\cos(2y) = 1 - 2a^2$.
Таким образом, $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - 2a^2$.
Ответ: $1 - 2a^2$.

б)

В этом случае нам нужно вычислить $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, используя условие $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a$.
Метод решения аналогичен предыдущему пункту.
Сделаем замену. Пусть $z = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$. По условию, $\cos(z) = a$.
Выразим $x$ через $z$:
$\frac{x}{2} = z - \frac{\pi}{3} \implies x = 2z - \frac{2\pi}{3}$.
Подставим это выражение для $x$ в искомую функцию:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2z - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right)$.
Применим формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$:
$\sin\left(2z - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(2z)$.
Мы знаем $\cos(z) = a$, и нам нужно найти $-\cos(2z)$. Используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает косинус двойного угла с косинусом одинарного угла:
$\cos(2z) = 2\cos^2(z) - 1$.
Подставляя известное значение $\cos(z) = a$, получаем:
$\cos(2z) = 2a^2 - 1$.
Следовательно, искомое значение равно:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos(2z) = -(2a^2 - 1) = 1 - 2a^2$.
Ответ: $1 - 2a^2$.