Номер 27.47, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.47. a) $\sin x \cos x = 1$;

б) $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}$;

В) $\cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$;

Г) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

а) Исходное уравнение: $ \sin x \cos x = 1 $.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
Применим эту формулу к нашему уравнению, заменив $ \alpha $ на $ x $: $ \frac{1}{2} \sin(2x) = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2: $ \sin(2x) = 2 $
Область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $. Поскольку $ 2 > 1 $, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Исходное уравнение: $ \sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, где $ \alpha = 4x $. Тогда $ \sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 4x) = \frac{1}{2} \sin(8x) $.
Подставим это в исходное уравнение: $ \frac{1}{2} \sin(8x) = \frac{1}{2} $
Умножим обе части на 2: $ \sin(8x) = 1 $
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид: $ 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделим обе части на 8, чтобы найти $ x $: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi n}{8} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2} $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{3} $.
Тогда левая часть уравнения равна $ \cos(2 \cdot \frac{x}{3}) = \cos(\frac{2x}{3}) $.
Уравнение принимает вид: $ \cos(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{2} $
Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение: $ \frac{2x}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $, получаем: $ \frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
Умножим обе части на $ \frac{3}{2} $, чтобы найти $ x $: $ x = \pm \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2} + 2\pi n \cdot \frac{3}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
Вынесем $ -1 $ за скобки в левой части уравнения: $ -(\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{2} $
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Уравнение принимает вид: $ -\cos(2x) = \frac{1}{2} $
Умножим обе части на $ -1 $: $ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $
Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение: $ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} $, получаем: $ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.