Номер 27.53, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.53. Сколько корней имеет уравнение:

a) $ (\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2 \sin 2x $ на отрезке $ [\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}] $;

б) $ 2\cos^2 \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + 1 = 0 $ на отрезке $ [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] $?

Рассмотрим уравнение $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2 \sin 2x$ на отрезке $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}]$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу квадрата разности:

$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:

$\cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin 2x$

Вычитая 1 из обеих частей и перенося слагаемые, получаем:

$2 \sin 2x - \sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$2x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем, сколько корней принадлежит отрезку $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$\frac{20\pi}{9} \le \frac{n\pi}{2} \le \frac{28\pi}{9}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 2:

$\frac{40}{9} \le n \le \frac{56}{9}$

Переведем дроби в десятичный вид для удобства:

$4.44... \le n \le 6.22...$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=5$ и $n=6$.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{5\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

Ответ: 2.

Рассмотрим уравнение $2 \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) + 1 = 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Воспользуемся свойством четности функции $\sin^2\alpha$, так как $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, то $\sin^2(-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

$\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) = \sin^2(-(2x - \frac{\pi}{4})) = \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2 \sin^2(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0$

Вынесем 2 за скобки:

$2(\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$2\cos(2 \cdot (2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$

$2\cos(4x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$

$\cos(4x - \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}$

Используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$\sin(4x) = -\frac{1}{2}$

Общие решения этого уравнения задаются двумя сериями:

$4x = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем количество корней в отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Для первой серии корней $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le -\frac{1}{24} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{1}{24}$

$\frac{13}{24} \le \frac{n}{2} \le \frac{37}{24}$

$\frac{13}{12} \le n \le \frac{37}{12}$

$1.083... \le n \le 3.083...$

Подходящие целые значения $n=2$ и $n=3$. Это дает два корня.

Для второй серии корней $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{1}{2} \le \frac{7}{24} + \frac{k}{2} \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} - \frac{7}{24} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{2} - \frac{7}{24}$

$\frac{5}{24} \le \frac{k}{2} \le \frac{29}{24}$

$\frac{5}{12} \le k \le \frac{29}{12}$

$0.416... \le k \le 2.416...$

Подходящие целые значения $k=1$ и $k=2$. Это дает еще два корня.

Всего на заданном отрезке уравнение имеет $2 + 2 = 4$ корня.

Ответ: 4.