Номер 27.57, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.57. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x|<4$:

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3$;

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7$.

а)

Решим уравнение $4\sin^2 x + \sin^2 2x = 3$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тогда $\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 3$

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x - 4\sin^4 x = 3$

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим:

$4\sin^4 x - 8\sin^2 x + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $y = \sin^2 x$. Учитывая, что $0 \le \sin^2 x \le 1$, получаем $0 \le y \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Корень $y_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $y \le 1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к переменной $x$ с единственным решением $y_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

Это уравнение можно решить с помощью формулы понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

$\frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \implies 1 - \cos 2x = 1 \implies \cos 2x = 0$

Общее решение этого уравнения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

$-4 < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 4$

Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < \frac{4}{\pi}$.

Умножим на 4: $-\frac{16}{\pi} < 1 + 2n < \frac{16}{\pi}$.

Используем приближение $\pi \approx 3.14159$, тогда $\frac{16}{\pi} \approx 5.09$.

$-5.09 < 1 + 2n < 5.09$

$-6.09 < 2n < 4.09$

$-3.045 < n < 2.045$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=-3$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 6\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$
• При $n=-2$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
• При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

б)

Решим уравнение $4\cos^2 2x + 8\cos^2 x = 7$.

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение, чтобы все выразить через $\cos 2x$:

$4\cos^2 2x + 8 \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 7$

$4\cos^2 2x + 4(1 + \cos 2x) = 7$

$4\cos^2 2x + 4 + 4\cos 2x = 7$

$4\cos^2 2x + 4\cos 2x - 3 = 0$

Сделаем замену $z = \cos 2x$. Учитывая, что $-1 \le \cos 2x \le 1$, получаем $-1 \le z \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4z^2 + 4z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Корень $z_1 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $|z| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к переменной $x$ с решением $z_2 = \frac{1}{2}$:

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$
2. $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$:

$-4 < \frac{\pi}{6} + \pi k < 4 \implies -\frac{4}{\pi} < \frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$.

Используя $\pi \approx 3.14159$, имеем $-1.27 < \frac{1}{6} + k < 1.27$, что после вычитания $\frac{1}{6} \approx 0.167$ дает $-1.44 < k < 1.1$.

Целочисленные значения $k$: $-1, 0, 1$.

• При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$
• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$:

$-4 < -\frac{\pi}{6} + \pi k < 4 \implies -\frac{4}{\pi} < -\frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$.

$-1.27 < -\frac{1}{6} + k < 1.27$, что после прибавления $\frac{1}{6} \approx 0.167$ дает $-1.1 < k < 1.44$.

Целочисленные значения $k$: $-1, 0, 1$.

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$

Объединяя все найденные корни и упорядочивая их, получаем шесть решений.

Ответ: $-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.