Номер 27.61, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.61. Вычислите $tg\frac{x}{2}$, если известно, что:

a) $sin x + cos x = 1,4$; $0 < x < \frac{\pi}{4}$;

б) $sin x - cos x = 0,2$; $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, выражающими синус и косинус через тангенс половинного угла:

$\sin x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$

Для удобства введем замену: $t = \tg\frac{x}{2}$. Тогда формулы примут вид:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

a)

Дано: $\sin x + \cos x = 1,4$ и $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в данное уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1,4$

$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 1,4$

$-t^2 + 2t + 1 = 1,4(1+t^2)$

$-t^2 + 2t + 1 = 1,4 + 1,4t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$1,4t^2 + t^2 - 2t + 1,4 - 1 = 0$

$2,4t^2 - 2t + 0,4 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 4 для упрощения:

$24t^2 - 20t + 4 = 0 \quad | : 4$

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения для $t = \tg\frac{x}{2}$. Чтобы выбрать правильное, воспользуемся заданным интервалом для $x$: $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Найдем интервал для $\frac{x}{2}$:

$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8}$

Угол $\frac{x}{2}$ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен. Оба корня $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{1}{3}$ положительны. Нужно более точное ограничение.

Так как функция тангенс возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то $0 < \tg\frac{x}{2} < \tg\frac{\pi}{8}$.

Найдем значение $\tg\frac{\pi}{8}$ по формуле тангенса половинного угла $\tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ при $\alpha=\frac{\pi}{4}$:

$\tg\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$

Приближенное значение: $\sqrt{2}-1 \approx 1,414 - 1 = 0,414$.

Итак, $0 < t < \sqrt{2}-1$. Сравним наши корни с этим интервалом:

$t_1 = \frac{1}{2} = 0,5$. Это значение больше, чем $\sqrt{2}-1 \approx 0,414$, поэтому оно не подходит.

$t_2 = \frac{1}{3} \approx 0,333$. Это значение удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < \sqrt{2}-1$.

Следовательно, искомое значение $\tg\frac{x}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Дано: $\sin x - \cos x = 0,2$ и $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Снова используем замену $t = \tg\frac{x}{2}$ и подставляем в уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = 0,2$

$\frac{2t - (1-t^2)}{1+t^2} = 0,2$

$\frac{t^2+2t-1}{1+t^2} = 0,2$

$t^2 + 2t - 1 = 0,2(1+t^2)$

$t^2 + 2t - 1 = 0,2 + 0,2t^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 - 0,2t^2 + 2t - 1 - 0,2 = 0$

$0,8t^2 + 2t - 1,2 = 0$

Умножим на 10 и разделим на 4:

$8t^2 + 20t - 12 = 0 \quad | : 4$

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Теперь выберем правильный корень, используя интервал для $x$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Найдем соответствующий интервал для $\frac{x}{2}$:

$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти тангенс отрицателен, поэтому $\tg\frac{x}{2} < 0$.

Сравним наши корни:

$t_1 = \frac{1}{2}$ - положительное число, не подходит.

$t_2 = -3$ - отрицательное число, подходит по знаку.

Более того, для $\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ значения тангенса лежат в интервале $(-\infty, -1)$. Число -3 попадает в этот интервал.

Следовательно, искомое значение $\tg\frac{x}{2} = -3$.

Ответ: -3.