Номер 27.66, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.66. a) $y = 3 - \sin x + \cos 2x;$

б) $y = \cos 2x + 4 \cos x - 1.$

а)

Задача состоит в нахождении множества значений (области значений) функции $y = 3 - \sin x + \cos 2x$.

Для решения преобразуем выражение, приведя его к функции от одной переменной. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$y = 3 - \sin x + (1 - 2\sin^2 x)$

$y = -2\sin^2 x - \sin x + 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $y(t) = -2t^2 - t + 4$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен. Своё наибольшее значение на всей числовой оси такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$:

$t_в = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4}$

Поскольку значение $t_в = -1/4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Вычислим это значение:

$y_{наиб} = y(-1/4) = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 4 = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 4 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{32}{8} = \frac{33}{8}$.

Наименьшее значение на отрезке парабола с ветвями вниз принимает на одном из концов этого отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

$y(-1) = -2(-1)^2 - (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$.

$y(1) = -2(1)^2 - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$.

Сравнивая эти два значения, заключаем, что наименьшее значение функции равно 1.

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[1; \frac{33}{8}]$.

Ответ: $E(y) = [1; \frac{33}{8}]$.

б)

Найдем множество значений функции $y = \cos 2x + 4 \cos x - 1$.

Используем формулу косинуса двойного угла, чтобы выразить функцию через $\cos x$: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставляем в исходное уравнение:

$y = (2\cos^2 x - 1) + 4 \cos x - 1$

$y = 2\cos^2 x + 4 \cos x - 2$

Введем замену переменной $t = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Получили задачу нахождения множества значений квадратичной функции $y(t) = 2t^2 + 4t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=2 > 0$). Свое наименьшее значение такая парабола достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.

Точка $t_в = -1$ является левой границей отрезка $[-1, 1]$. Это означает, что наименьшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в этой точке.

Вычислим наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4$.

Поскольку вершина параболы с ветвями вверх находится в точке $t=-1$, на всем отрезке $[-1, 1]$ функция $y(t)$ будет возрастать. Следовательно, наибольшее значение она примет на правом конце отрезка, то есть в точке $t=1$.

Вычислим наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 2 = 2 + 4 - 2 = 4$.

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[-4, 4]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.