Номер 27.73, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.73. a) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|};$

Б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|};$

В) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|};$

Г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}.$

а) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$

Для упрощения данного выражения, мы воспользуемся формулой синуса двойного угла и определением модуля.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $|\sin x| \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.Подставим это в исходное выражение:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{|\sin x|}$

3. Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$:

• Если $\sin x > 0$ (это соответствует I и II координатным четвертям), то $|\sin x| = \sin x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2 \cos x$.
• Если $\sin x < 0$ (это соответствует III и IV координатным четвертям), то $|\sin x| = -\sin x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x} = -2 \cos x$.

Таким образом, функцию можно записать в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{при } \sin x > 0 \\ -2 \cos x, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$

Упростим данное выражение, следуя аналогичной логике.

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $-2|\cos x| \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и сократим:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{-2|\cos x|} = -\frac{\sin x \cos x}{|\cos x|}$

3. Раскроем модуль в зависимости от знака $\cos x$:

• Если $\cos x > 0$ (I и IV четверти), то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = -\frac{\sin x \cos x}{\cos x} = -\sin x$.
• Если $\cos x < 0$ (II и III четверти), то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = -\frac{\sin x \cos x}{-\cos x} = \sin x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -\sin x, & \text{при } \cos x > 0 \\ \sin x, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$

Решение этого примера аналогично предыдущему.

1. Область определения: $-|\cos x| \neq 0 \implies \cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу синуса двойного угла:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{-|\cos x|} = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{|\cos x|}$

3. Раскроем модуль:

• Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Получаем: $y = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{\cos x} = -2 \sin x$.
• Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Получаем: $y = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{-\cos x} = 2 \sin x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2 \sin x, & \text{при } \cos x > 0 \\ 2 \sin x, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}$

Решение этого примера аналогично примеру а).

1. Область определения: $2|\sin x| \neq 0 \implies \sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и сократим:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{2|\sin x|} = \frac{\sin x \cos x}{|\sin x|}$

3. Раскроем модуль:

• Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x \cos x}{\sin x} = \cos x$.
• Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x \cos x}{-\sin x} = -\cos x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{при } \sin x > 0 \\ -\cos x, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.