Номер 28.5, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.5. a) $\sin 3t - \sin t$;

б) $\cos (\alpha - 2\beta) - \cos (\alpha + 2\beta)$;

в) $\cos 6t + \cos 4t$;

г) $\sin (\alpha - 2\beta) - \sin (\alpha + 2\beta)$.

а) Для преобразования разности синусов $ \sin 3t - \sin t $ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

В нашем случае $ x = 3t $ и $ y = t $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin 3t - \sin t = 2\sin\frac{3t-t}{2}\cos\frac{3t+t}{2} = 2\sin\frac{2t}{2}\cos\frac{4t}{2} = 2\sin t \cos 2t $.

Ответ: $ 2\sin t \cos 2t $

б) Для преобразования разности косинусов $ \cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) $ в произведение используем формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $

Здесь $ x = \alpha - 2\beta $ и $ y = \alpha + 2\beta $. Подставляем в формулу:

$ \cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) = -2\sin\frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} $

$ = -2\sin\frac{2\alpha}{2}\sin\frac{-4\beta}{2} = -2\sin\alpha \sin(-2\beta) $.

Так как синус является нечетной функцией, то есть $ \sin(-z) = -\sin z $, то $ \sin(-2\beta) = -\sin(2\beta) $.

Следовательно, выражение равно: $ -2\sin\alpha(-\sin(2\beta)) = 2\sin\alpha\sin(2\beta) $.

Ответ: $ 2\sin\alpha\sin(2\beta) $

в) Для преобразования суммы косинусов $ \cos 6t + \cos 4t $ в произведение используем формулу суммы косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

В данном случае $ x = 6t $ и $ y = 4t $. Подставляем значения:

$ \cos 6t + \cos 4t = 2\cos\frac{6t+4t}{2}\cos\frac{6t-4t}{2} = 2\cos\frac{10t}{2}\cos\frac{2t}{2} = 2\cos 5t \cos t $.

Ответ: $ 2\cos 5t \cos t $

г) Для преобразования разности синусов $ \sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) $ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

Здесь $ x = \alpha - 2\beta $ и $ y = \alpha + 2\beta $. Подставляем в формулу:

$ \sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) = 2\sin\frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} $

$ = 2\sin\frac{-4\beta}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin(-2\beta)\cos\alpha $.

Используя свойство нечетности функции синус ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ 2(-\sin(2\beta))\cos\alpha = -2\cos\alpha\sin(2\beta) $.

Ответ: $ -2\cos\alpha\sin(2\beta) $