Номер 28.12, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.12. a) $ \sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x - y}{2} $;

б) $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $.

а)

Заметим, что исходное тождество, как оно представлено на изображении: $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cos\frac{x - y}{2} $, скорее всего содержит опечатку. Покажем, что оно неверно.

Преобразуем правую часть (ПЧ) этого выражения, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \text{ПЧ} = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cos\frac{x - y}{2} = 2 \cdot \left(2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}\right) \cos\frac{x - y}{2} = 2 \sin x \cos\frac{x - y}{2} $.

Таким образом, предполагаемое тождество имеет вид $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos\frac{x - y}{2} $.

Проверим его, подставив конкретные значения, например, $ x = \pi $ и $ y = \frac{\pi}{2} $.

Левая часть (ЛЧ): $ \sin\pi + \sin\frac{\pi}{2} + \sin\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 + \sin\frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2 $.

Правая часть (ПЧ): $ 2 \sin\pi \cos\frac{\pi - \pi/2}{2} = 2 \cdot 0 \cdot \cos\frac{\pi}{4} = 0 $.

Поскольку $ 2 \neq 0 $, тождество в исходном виде неверно.

Наиболее вероятная правильная форма тождества: $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $. Докажем его, преобразуя левую часть.

$ \text{ЛЧ} = \sin x + \sin y + \sin(x - y) $.

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Теперь выражение для ЛЧ выглядит так: $ 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} + \sin(x-y) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ к слагаемому $ \sin(x-y) $, представив его как $ \sin\left(2 \cdot \frac{x-y}{2}\right) $:

$ \sin(x-y) = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Подставим это в выражение для ЛЧ: $ 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} + 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos\frac{x-y}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos\frac{x-y}{2} \left( \sin\frac{x+y}{2} + \sin\frac{x-y}{2} \right) $.

К выражению в скобках снова применим формулу суммы синусов:

$ \sin\frac{x+y}{2} + \sin\frac{x-y}{2} = 2 \sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}}{2} \cos\frac{\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}}{2} = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} $.

Подставим полученный результат обратно:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cos\frac{x-y}{2} \cdot \left( 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \right) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Таким образом, $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ (в исправленном виде).

Ответ: Тождество, представленное на изображении, неверно. Доказано исправленное тождество $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $.

б)

Докажем тождество $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части по отдельности.

Преобразуем числитель $ A = \sin x + \sin 2x + \sin 3x $. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin x + \sin 3x = 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $.

Тогда числитель равен: $ A = (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x $.

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки: $ A = \sin 2x (2 \cos x + 1) $.

Теперь преобразуем знаменатель $ B = \cos x + \cos 2x + \cos 3x $. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos x + \cos 3x = 2 \cos\frac{x+3x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x $.

Тогда знаменатель равен: $ B = (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x $.

Вынесем общий множитель $ \cos 2x $ за скобки: $ B = \cos 2x (2 \cos x + 1) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{A}{B} = \frac{\sin 2x (2 \cos x + 1)}{\cos 2x (2 \cos x + 1)} $.

Сокращение дроби на множитель $ (2 \cos x + 1) $ возможно при условии, что он не равен нулю. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $ \cos 2x \neq 0 $. Эти условия определяют область допустимых значений (ОДЗ) для данного тождества.

При выполнении условий ОДЗ, после сокращения получаем:

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $ доказано.