Номер 28.16, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.16. a) $sin^2 10^\circ + sin^2 130^\circ + sin^2 110^\circ$;

б) $cos^2 35^\circ + cos^2 25^\circ - cos^2 5^\circ$.

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ $ воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством.
Преобразуем синусы углов $130^\circ$ и $110^\circ$:
$ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ $
$ \sin 110^\circ = \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ $
Это не приводит к очевидному упрощению. Попробуем другой подход, используя формулы понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:
$ \sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} $
$ \sin^2 130^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 130^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 260^\circ}{2} $
$ \sin^2 110^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 110^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 220^\circ}{2} $
Сложим полученные выражения:
$ \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 260^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 220^\circ}{2} = \frac{1}{2} (1 - \cos 20^\circ + 1 - \cos 260^\circ + 1 - \cos 220^\circ) $
$ = \frac{1}{2} (3 - (\cos 20^\circ + \cos 260^\circ + \cos 220^\circ)) $
Рассмотрим сумму косинусов $ \cos 20^\circ + \cos 260^\circ + \cos 220^\circ $. Сгруппируем последние два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 260^\circ + \cos 220^\circ = 2\cos\frac{260^\circ+220^\circ}{2}\cos\frac{260^\circ-220^\circ}{2} = 2\cos 240^\circ \cos 20^\circ $
Найдем значение $ \cos 240^\circ $:
$ \cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $
Тогда:
$ 2\cos 240^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos 20^\circ = -\cos 20^\circ $
Теперь вся сумма косинусов равна:
$ \cos 20^\circ + (-\cos 20^\circ) = 0 $
Подставим это значение в исходное выражение:
$ \frac{1}{2} (3 - 0) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $.

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ - \cos^2 5^\circ $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим эту формулу к каждому слагаемому:
$ \cos^2 35^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 35^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} $
$ \cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} $
$ \cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 5^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} $
Подставим эти выражения в исходное:
$ \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} - \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} $
$ = \frac{1}{2} (1 + \cos 70^\circ + 1 + \cos 50^\circ - (1 + \cos 10^\circ)) $
$ = \frac{1}{2} (1 + \cos 70^\circ + \cos 50^\circ - \cos 10^\circ) $
Упростим выражение в скобках. Для этого к $ \cos 70^\circ + \cos 50^\circ $ применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 70^\circ + \cos 50^\circ = 2\cos\frac{70^\circ+50^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-50^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \cos 10^\circ $
Поскольку $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ $
Теперь подставим полученный результат в выражение в скобках:
$ 1 + (\cos 70^\circ + \cos 50^\circ) - \cos 10^\circ = 1 + \cos 10^\circ - \cos 10^\circ = 1 $
Тогда значение всего выражения равно:
$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $.