Номер 28.14, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

28.14. a) $ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} $;

б) $ \frac{\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{9}} $;

В) $ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} $;

Г) $ \frac{\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9}}{\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9}} $.

а) Для решения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

$\cos 68^\circ - \cos 22^\circ = -2 \sin\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ$

$\sin 68^\circ - \sin 22^\circ = 2 \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} \cos\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} = 2 \sin 23^\circ \cos 45^\circ$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ}{2 \sin 23^\circ \cos 45^\circ}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\sin 23^\circ$:

$-\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tan 45^\circ = -1$

Ответ: -1

б) Сначала приведем углы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$. Выражение примет вид:

$\frac{\sin\frac{7\pi}{18} - \sin\frac{2\pi}{18}}{\cos\frac{7\pi}{18} - \cos\frac{2\pi}{18}}$

Используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:

$\sin\frac{7\pi}{18} - \sin\frac{2\pi}{18} = 2 \sin\frac{\frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} = 2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{9\pi}{36} = 2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{\pi}{4}$

$\cos\frac{7\pi}{18} - \cos\frac{2\pi}{18} = -2 \sin\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} \sin\frac{\frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} = -2 \sin\frac{9\pi}{36} \sin\frac{5\pi}{36} = -2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{5\pi}{36}$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{\pi}{4}}{-2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{5\pi}{36}}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\sin\frac{5\pi}{36}$:

$-\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = -\cot\frac{\pi}{4} = -1$

Ответ: -1

в) Для решения используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

$\sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ$

$\cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cos\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\cos 10^\circ$:

$\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Сначала приведем углы к общему знаменателю: $\frac{11\pi}{9} = \frac{22\pi}{18}$. Выражение примет вид:

$\frac{\sin\frac{5\pi}{18} + \sin\frac{22\pi}{18}}{\cos\frac{5\pi}{18} + \cos\frac{22\pi}{18}}$

Используем формулы преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:

$\sin\frac{5\pi}{18} + \sin\frac{22\pi}{18} = 2 \sin\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{22\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{18} - \frac{22\pi}{18}}{2} = 2 \sin\frac{27\pi}{36} \cos\frac{-17\pi}{36} = 2 \sin\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}$

$\cos\frac{5\pi}{18} + \cos\frac{22\pi}{18} = 2 \cos\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{22\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{18} - \frac{22\pi}{18}}{2} = 2 \cos\frac{27\pi}{36} \cos\frac{-17\pi}{36} = 2 \cos\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}}{2 \cos\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\cos\frac{17\pi}{36}$:

$\frac{\sin\frac{3\pi}{4}}{\cos\frac{3\pi}{4}} = \tan\frac{3\pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$

Ответ: -1